В математике символы, которые имеют определенное значение в английском языке, могут означать очень специализированные и разные вещи. Например, рассмотрим следующее выражение:
3!
Нет, мы сделали не используйте восклицательный знак, чтобы показать, что нас волнует тройка, и не следует читать последнее предложение с ударением. В математике выражение 3! читается как “трехфакториал” и на самом деле является сокращенным способом обозначить умножение нескольких последовательных целых чисел.
Поскольку в математике и статистике есть много мест там, где нам нужно перемножать числа, нам очень пригодится факториал. Некоторые из основных мест, где он проявляется, – это комбинаторика и вероятностное исчисление.
Определение
Факториал определяется следующим образом: для любого положительного целого числа n факториал:
n ! = П Икс (П -1) Икс (П – 2) Икс. . . x 2 x 1
Примеры малых значений
Сначала мы рассмотрим несколько примеров факториала с небольшими значениями n:
- 1! = 1
- 2! = 2 x 1 = 2
- 3! = 3 х 2 х 1 = 6
- 4! = 4 х 3 х 2 х 1 = 24
- 5! = 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120
- 6! = 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720
- 7! = 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 5040
- 8! = 8 х 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 40320
- 9! = 9 х 8 х 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 362880
- 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800
Как мы видим, факториал очень быстро становится очень большим. Что-то, что может показаться маленьким, например 20! на самом деле состоит из 19 цифр.
Факториалы легко вычислить, но вычислить их может быть довольно утомительно. К счастью, во многих калькуляторах есть факторный ключ (ищите символ!). Эта функция калькулятора автоматизирует умножение.
Особый случай
Еще одно значение факториала и одно, для которого стандартное определение, приведенное выше, не выполняется – это определение нулевого факториала. Если мы будем следовать формуле, мы не получим никакого значения для 0 !. Не существует положительных целых чисел меньше 0. По нескольким причинам целесообразно определять 0! = 1. Факториал для этого значения особенно заметен в формулах для комбинаций и перестановок.
Дополнительные вычисления
Когда Имея дело с вычислениями, важно подумать, прежде чем мы нажмем клавишу факториала на нашем калькуляторе. Чтобы вычислить такое выражение, как 100!/98! есть несколько способов сделать это.
Один из способов – использовать калькулятор, чтобы найти и те и другие 100! и 98 !, затем разделите одно на другое. Хотя это прямой способ расчета, с ним связаны некоторые трудности. Некоторые калькуляторы не могут обрабатывать выражения размером до 100! = 9,33262154 x 10 157 . (Выражение 10 157 является научным обозначением, которое означает, что мы умножаем на 1, а затем на 157 нулей.) Это число не только массивно, но и является лишь оценкой реального значения 100!
Другой способ упростить выражение с помощью факториалов, подобных показанному здесь, вообще не требует калькулятора. Чтобы подойти к этой проблеме, нужно признать, что мы можем переписать 100! не как 100 х 99 х 98 х 97 х. . . x 2 x 1, но вместо этого как 100 x 99 x 98! Выражение 100!/98! теперь становится (100 х 99 х 98!)/98! = 100 x 99 = 9900.