Нулевой факториал – это математическое выражение для количества способов упорядочить набор данных без значений в нем, равный единице. В общем, факториал числа – это сокращенный способ записать выражение умножения, в котором число умножается на каждое число, меньшее его, но большее нуля. 4! = 24, например, то же самое, что и запись 4 x 3 x 2 x 1 = 24, но для выражения того же уравнения справа от факториала (четыре) используется восклицательный знак.
Из этих примеров довольно ясно, как вычислить факториал любого целого числа, большего или равного единице, но почему значение факториала равно нулю, несмотря на математическое правило, что все умножается нулем равно нулю?
Определение факториала утверждает, что 0! = 1. Это обычно сбивает людей с толку в первый раз, когда они видят это уравнение, но мы увидим в приведенных ниже примерах, почему это имеет смысл, когда вы посмотрите на определение, перестановки и формулы для нулевого факториала.
Определение нулевого факториала
Первая причина, по которой нулевой факториал равен единице, заключается в том, что это то, что по определению должно быть, что является математически правильным объяснением (хотя и несколько неудовлетворительным). Тем не менее, нужно помнить, что определение факториала – это произведение всех целых чисел, равных или меньших по значению исходному числу, другими словами, факториал – это количество возможных комбинаций с числами, меньшими или равными этому числу.
Поскольку ноль не имеет меньших чисел, но все же сам по себе является числом, существует только одна возможная комбинация того, как этот набор данных может быть организован : оно не может. Это по-прежнему считается способом упорядочения, поэтому по определению нулевой факториал равен единице, как и 1! равно единице, потому что существует только одно возможное расположение этого набора данных.
Для лучшего понимания того, как это имеет математический смысл, важно отметить что факториалы, подобные этим, используются для определения возможных порядков информации в последовательности, также известных как перестановки, которые могут быть полезны для понимания того, что даже если в пустом или нулевом наборе нет значений, все же существует один способ упорядочения набора .
Перестановки и факториалы
Перестановка – это особый уникальный порядок элементов в наборе. Например, существует шесть перестановок набора {1, 2, 3}, который содержит три элемента, поскольку мы можем записать эти элементы следующими шестью способами:
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
Мы также можем констатировать этот факт с помощью уравнения 3! = 6, что является факториальным представлением полного набора перестановок. Аналогично есть 4! = 24 перестановки набора из четырех элементов и 5! = 120 перестановок набора из пяти элементов. Таким образом, альтернативный способ подумать о факториале – позволить n быть натуральным числом и сказать, что n ! – это количество перестановок для набора с n элементами.
Рассматривая факториал таким образом, давайте посмотрим еще пара примеров. Набор из двух элементов имеет две перестановки: {a, b} могут быть расположены как a, b или как b, a. Это соответствует 2! = 2. Набор с одним элементом имеет единственную перестановку, так как элемент 1 в наборе {1} может быть упорядочен только одним способом.
Это приводит нас к нулевому факториалу. Набор с нулевыми элементами называется пустым набором. Чтобы найти значение нулевого факториала, мы спрашиваем: «Сколько способов мы можем упорядочить набор без элементов?» Здесь нам нужно немного расширить наше мышление. Несмотря на то, что навести порядок нечего, есть один способ сделать это. Таким образом, мы имеем 0! = 1.
Формулы и другие проверки
Еще одна причина для определения 0! = 1 имеет отношение к формулам, которые мы используем для перестановок и комбинаций. Это не объясняет, почему нулевой факториал равен единице, но показывает, почему установка 0! = 1 – хорошая идея.
Комбинация – это группировка элементов набора без учета порядка. Например, рассмотрим набор {1, 2, 3}, в котором есть одна комбинация, состоящая из всех трех элементов. Независимо от того, как мы расположим эти элементы, мы получим одну и ту же комбинацию.
Мы используем формулу для комбинаций с комбинацией из трех элементов, взятых по три за один раз и увидим, что 1 = C (3, 3) = 3!/(3! 0!), и если мы обработаем 0! как неизвестную величину и решаем алгебраически, мы видим, что 3! 0! = 3! и так 0! = 1.
Есть и другие причины, по которым определение 0! = 1 правильно, но причины, указанные выше, наиболее очевидны. Общая идея математики состоит в том, что при построении новых идей и определений они остаются согласованными с другой математикой, и это именно то, что мы видим в определении нулевого факториала, равного единице.
