Не все бесконечные множества одинаковы. Один из способов различить эти множества – спросить, является ли множество счетно бесконечным или нет. Таким образом, мы говорим, что бесконечные множества либо счетны, либо несчетны. Мы рассмотрим несколько примеров бесконечных множеств и определим, какие из них неисчислимы.
Счетно бесконечное
Начнем с определения есть несколько примеров бесконечных множеств. Многие из бесконечных множеств, о которых мы сразу же пришли бы в голову, оказываются счетно бесконечными. Это означает, что они могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами.
Натуральные числа, целые и рациональные числа – все счетно бесконечно. Счетно также любое объединение или пересечение счетно бесконечных множеств. Декартово произведение любого количества счетных множеств счетно. Любое подмножество счетного множества также является счетным.
Uncountable
Самый распространенный способ введения несчетных множеств – это рассмотрение интервал (0, 1) действительных чисел. Отсюда и однозначная функция f ( x ) = bx + а . это прямое следствие, показывающее, что любой интервал ( a , b ) действительных чисел несчетно бесконечен.
Весь набор действительных чисел также неисчислим. Один из способов показать это – использовать функцию взаимно однозначного касания f ( x ) = tan x . Область этой функции – это интервал (-π/2, π/2), несчетное множество, а диапазон – это набор всех действительных чисел.
Другие бесчисленные множества
Операции теории базовых множеств можно использовать для создания большего количества примеров несчетно бесконечных множеств:
- Если A является подмножеством B и A не подсчитано, то B . Это обеспечивает более прямое доказательство того, что весь набор действительных чисел неисчислим.
- Если A неисчислимо, а B – любой набор, то объединение A U B также несчетно.
- Если A неисчислимо, а B – любое множество, тогда декартово произведение A x B также неисчислимо.
- Если A бесконечен (даже счетно бесконечен), то набор степеней A неисчислим.
Два других связанных друг с другом примера несколько удивительны. Не каждое подмножество действительных чисел бесконечно бесконечно (действительно, рациональные числа образуют счетное подмножество действительных чисел, которое также является плотным). Некоторые подмножества бесконечно бесконечны.
Одно из этих несчетно бесконечных подмножеств включает определенные типы десятичных разложений. Если мы выберем две цифры и сформируем все возможные десятичные разложения только с этими двумя цифрами, то результирующий бесконечный набор будет несчетным..
Другой набор сложнее построить, и его также неисчислить. Начнем с отрезка [0,1]. Удалите среднюю треть этого набора, в результате получится [0, 1/3] U [2/3, 1]. Теперь удалите среднюю треть каждой из оставшихся частей набора. Итак, (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9) удаляются. Продолжаем в том же духе. Набор точек, которые остаются после удаления всех этих интервалов, не является интервалом, однако он несчетно бесконечен. Этот набор называется набором Кантора.
Существует бесконечно много бесчисленных наборов, но приведенные выше примеры являются одними из наиболее часто встречающихся наборов.
