Важной частью выводимой статистики является проверка гипотез. Как и при изучении чего-либо, связанного с математикой, полезно проработать несколько примеров. Ниже рассматривается пример проверки гипотезы и вычисляется вероятность ошибок типа I и типа II.
Мы будем предполагать, что выполняются простые условия. Более конкретно, мы предположим, что у нас есть простая случайная выборка из совокупности, которая либо нормально распределена, либо имеет достаточно большой размер выборки, чтобы мы могли применить центральную предельную теорему. Мы также предполагаем, что нам известно стандартное отклонение совокупности.
Постановка проблемы
Пакет картофельных чипсов упакован по весу. Всего закуплено, взвешено девять пакетов, средний вес этих девяти пакетов составляет 10,5 унций. Предположим, что стандартное отклонение совокупности всех таких пакетов с чипсами составляет 0,6 унции. Заявленный вес на всех упаковках составляет 11 унций. Установите уровень значимости 0,01.
Вопрос 1
Подтверждает ли образец гипотезу об истинности Среднее значение для генеральной совокупности меньше 11 унций?
У нас есть тест с нижним хвостом. Это видно из утверждения нашей нулевой и альтернативной гипотез:
- H 0 : μ = 11.
- H a : μ
статистика теста рассчитывается по формуле
z = ( x -bar – μ 0 )/(σ/√ n ) = (10,5 – 11)/(0,6/√ 9) = -0,5/0,2 = -2,5.
Теперь нам нужно определить, насколько вероятно, что это значение z является чисто случайным. Используя таблицу значений z , мы видим, что вероятность того, что z меньше или равна -2,5, составляет 0,0062. Поскольку это значение p меньше уровня значимости, мы отклоняем нулевую гипотезу и принимаем альтернативную гипотезу. Средний вес всех пакетов с чипсами составляет менее 11 унций.
Вопрос 2
Что такое вероятность ошибки типа I?
Ошибка типа I возникает, когда мы отклоняем истинную нулевую гипотезу. Вероятность такой ошибки равна уровню значимости. В данном случае уровень значимости равен 0,01, следовательно, это вероятность ошибки типа I.
Вопрос 3
Если среднее значение генеральной совокупности на самом деле составляет 10,75 унции, какова вероятность ошибки типа II?
Начнем с переформулирования нашего решающего правила в терминах выборочного среднего. Для уровня значимости 0,01 мы отклоняем нулевую гипотезу, когда z
( x -bar – 11)/(0,6/√ 9)
Эквивалентно мы отвергаем нулевую гипотезу, когда 11 – 2,33 (0. 2)> x -bar, или когда x -bar меньше 10,534. Мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу для x -bar больше или равного 10,534. Если истинное среднее значение генеральной совокупности составляет 10,75, то вероятность того, что x -bar больше или равна 10,534, эквивалентна вероятности того, что z больше, чем или равно -0,22. Эта вероятность, которая представляет собой вероятность ошибки типа II, равна 0,587.