Одна операция, которая часто используется для формирования новых наборов из старых, называется объединением. В обычном использовании слово «союз» означает объединение, такое как профсоюзы в составе организованных рабочих или обращение президента США перед совместной сессией Конгресса. В математическом смысле объединение двух множеств сохраняет идею объединения. Точнее, объединение двух наборов A и B – это набор всех элементов x таких, что x – элемент набора A или x – элемент набора B . Слово, обозначающее, что мы используем объединение, – это слово «или».
Слово «или»
Когда мы используем слово «или» в повседневных разговорах, мы можем не осознавать, что это слово используется по-разному. Путь обычно определяется из контекста разговора. Если вас спросят: «Хотите курицу или стейк?» обычно подразумевается, что у вас может быть одно или другое, но не то и другое одновременно. Сравните это с вопросом: «Хотите масло или сметану на печеный картофель?» Здесь «или» используется в широком смысле, так как вы можете выбрать только масло, только сметану или и масло, и сметану.
В математике слово «или» используется во включительном смысле. Таким образом, утверждение « x является элементом A или элементом B » означает, что один из трех возможно:
- x – это элемент только A , а не элемент B
- x , является элементом только B а не элемент A .
- x является элементом обоих A и B . (Можно также сказать, что x – это элемент пересечения A и B
Пример
В качестве примера того, как объединение двух наборов образует новый набор, давайте рассмотрим наборы A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Чтобы найти объединение этих двух наборы, мы просто перечисляем каждый элемент, который видим, стараясь не дублировать какие-либо элементы. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 находятся либо в одном наборе, либо в другом, поэтому объединение A и B – это {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Обозначение для Union
Помимо понимания концепций, касающихся операций теории множеств, важно уметь читать символы, используемые для обозначения этих операций. Символ, используемый для объединение двух наборов A и B дается A ∪ B . Один из способов запомнить символ ∪, относящийся к союзу, – это заметить его сходство с заглавной U, что является сокращением от слова «объединение». Будьте осторожны, потому что символ объединения очень похож на символ пересечения. Одно получается из другого вертикальным переворотом.
Чтобы увидеть эту нотацию в действии, вернитесь к приведенному выше примеру. Здесь у нас были наборы A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Итак, мы бы записали заданное уравнение A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Объединение с пустым набором
Одна базовая идентичность, которая включает объединение, показывает нам, что происходит, когда мы берем объединение любого набора с пустой набор, обозначенный # 8709. Пустой набор – это набор без элементов. Так что присоединение этого к любому другому набору не даст никакого эффекта. Другими словами, объединение любого набора с пустым набором даст нам исходный набор назад
Эта идентичность становится еще более компактной с использованием нашей нотации . У нас есть тождество: A ∪ ∅ = A.
Союз с Универсальный набор
С другой стороны, что происходит, когда мы исследуем объединение набора с универсальным набором? Поскольку универсальный набор содержит каждый элемент, мы не можем добавить к нему ничего другого. Таким образом, объединение или любой набор с универсальным набором является универсальным набором.
И снова наша нотация помогает нам выразить эту идентичность в более компактном формате. Для любого набора A и универсального набора U , A ∪ U = U.
Другие идентичности, связанные с союзом
Есть еще много установленных идентичностей, которые предполагают использование операции объединения. Конечно, всегда полезно практиковаться, используя язык теории множеств. Некоторые из наиболее важных излагаются ниже. Для всех наборов A , B и D у нас есть:
- Рефлексивное свойство: A ∪ A = A
- Коммутативное свойство: A ∪ B = B ∪ A
- Ассоциативное свойство: ( A ∪ B ) ∪ D = A ∪ ( B ∪ D )
- Закон ДеМоргана I: ( A ∩ B ) C = A C ∪ BC
- Закон ДеМоргана II: ( A ∪ B ) C = A C ∩ B C
v>
