Это базовое, хотя, надеюсь, довольно исчерпывающее введение в работу с векторами. Векторы проявляются по-разному: от смещения, скорости и ускорения до сил и полей. Эта статья посвящена математике векторов; их применение в конкретных ситуациях будет рассмотрено в другом месте.
Векторы и скаляры
A векторное количество или вектор , предоставляет информацию не только о величине, но и о направлении величины. При указании направления к дому недостаточно сказать, что он находится на расстоянии 10 миль, но также необходимо указать направление этих 10 миль, чтобы информация была полезной. Переменные, которые являются векторами, будут обозначены полужирным шрифтом, хотя обычно можно увидеть векторы, обозначенные маленькими стрелками над переменной.
Так же, как и мы. t скажем, что другой дом находится на расстоянии -10 миль, величина вектора всегда является положительным числом, или, скорее, абсолютным значением «длины» вектора (хотя величина может не быть длиной, это может быть скорость , ускорение, сила и т. д.) Отрицательный знак перед вектором указывает не на изменение величины, а скорее в направлении вектора.
В приведенных выше примерах расстояние – это скалярная величина (10 миль), а смещение – это векторная величина (10 миль к северо-востоку). Точно так же скорость – это скалярная величина, а скорость – это векторная величина.
Единичный вектор – это вектор, имеющий величина один. Вектор, представляющий единичный вектор, обычно также выделяется жирным шрифтом, хотя над ним будет стоять карат ( ^ ), указывающий на единичный характер переменной. Единичный вектор x , записанный с использованием карата, обычно читается как «x-hat», потому что карат выглядит как шляпа на переменной. .
нулевой вектор или нулевой вектор – это вектор с величина нулевая. В этой статье он обозначается как 0 .
Компоненты вектора
Обычно векторы ориентирована в системе координат, наиболее популярной из которых является двумерная декартова плоскость. В декартовой плоскости есть горизонтальная ось, обозначенная буквой x, и вертикальная ось, обозначенная буквой y. Некоторые передовые приложения векторов в физике требуют использования трехмерного пространства с осями x, y и z. Эта статья будет посвящена в основном двухмерной системе, хотя концепции могут быть расширены с некоторой осторожностью до трех измерений без особых проблем.
Векторы в нескольких -размерные системы координат могут быть разбиты на их составляющие векторы . В двухмерном случае это приводит к x-компоненту и y-компоненту . При разбиении вектора на компоненты вектор представляет собой сумму компонентов:
F = F x + F y
theta F x F y F
F x / F = cos theta и F y / F = sin theta , что дает нам
F x = F cos theta и F y = F sin theta
Обратите внимание, что числа здесь – это величины векторов. Нам известно направление компонентов, но мы пытаемся найти их величину, поэтому мы отбрасываем информацию о направлении и выполняем эти скалярные вычисления, чтобы определить величину. Дальнейшее применение тригонометрии может быть использовано для поиска других взаимосвязей (например, касательной) между некоторыми из этих величин, но я думаю, что на данный момент этого достаточно.
В течение многих лет единственная математика, которую изучает ученик, – это скалярная математика. Если вы путешествуете на 5 миль на север и на 5 миль на восток, вы прошли 10 миль. Добавление скалярных величин игнорирует всю информацию о направлениях.
Векторы обрабатываются несколько иначе. При манипулировании ими всегда необходимо учитывать направление.
Добавление компонентов
Когда вы добавляете два вектора, они выглядят как если вы взяли векторы, разместили их встык и создали новый вектор, идущий от начальной до конечной точки. Если векторы имеют одинаковое направление, это просто означает добавление величин, но если они имеют разные направления, это может стать более сложным.
Вы добавляете векторы разбив их на компоненты и затем добавив компоненты, как показано ниже:
a + b = c
a x + a y + b x + b y =
( a x + b x ) + ( a y + b y ) = c x + c y
Два x -components приведет к x-компоненту новой переменной, а два y-компонента приведут к y-компоненту новой переменной.
Свойства сложения векторов
Порядок, в котором вы добавляете векторы это не важно. Фактически, для сложения векторов действуют несколько свойств скалярного сложения:
Свойство идентичности сложения векторов
a + 0 = a
Обратное свойство сложения векторов
a + – a = a – a = 0
Отражающее свойство сложения векторов
a = a
Коммутативное свойство сложения векторов
a + b = b + a
Ассоциативное свойство сложения векторов
( a + b ) + c = a + ( b + c )
Транзитивное свойство сложения векторов
Если a = b и c = b , затем a = c
Простейшая операция, которая может быть p Для вектора нужно умножить его на скаляр. Это скалярное умножение изменяет величину вектора. Другими словами, он делает вектор длиннее или короче.
При умножении на отрицательный скаляр результирующий вектор будет указывать в противоположном направлении.
Скалярное произведение двух векторов – это способ их умножения для получения скалярной величины. Это записывается как умножение двух векторов с точкой в середине, представляющей умножение. Поэтому его часто называют скалярным произведением двух векторов.
Чтобы вычислить скалярное произведение двух векторов, вы учитываете угол между ними. Другими словами, если бы у них была одна и та же начальная точка, каков был бы угол измерения ( theta ) между ними. Точечное произведение определяется как:
a * b = ab cos theta
ab abba
В случаях, когда векторы перпендикулярны (или theta = 90 градусов), cos theta будет равно нулю. Следовательно, скалярное произведение перпендикулярных векторов всегда равно нулю . Когда векторы параллельны (или theta = 0 градусов), cos theta равен 1, поэтому скалярное произведение – это просто произведение величин.
Эти аккуратные маленькие факты можно использовать, чтобы доказать, что, если вы знаете компоненты, вы можете полностью устранить необходимость в тэте с помощью (двумерного) уравнения:
a * b = a x b x + a y b y
Векторное произведение записывается в форме a x b и обычно называется перекрестным произведением двух векторов. В этом случае мы перемножаем векторы, и вместо скалярной величины мы получим векторную величину. Это самое сложное из векторных вычислений, с которыми мы будем иметь дело, так как оно не коммутативно и предполагает использование ужасного Правило правой руки , к которому я скоро вернусь.
Вычисление величины
Опять же, мы рассматриваем два вектора, нарисованные из одной точки с углом theta между ними. Мы всегда берем наименьший угол, поэтому theta всегда будет в диапазоне от 0 до 180, и поэтому результат никогда не будет отрицательным. Величина полученного вектора определяется следующим образом:
Если c = a x b , затем c = ab sin theta
Векторное произведение параллельных (или антипараллельных) векторов всегда равно нулю
Направление вектора
Векторное произведение будет перпендикулярно плоскости, созданной из этих двух векторов. Если вы представляете плоскость плоской на столе, возникает вопрос, идет ли результирующий вектор вверх (наш «выход» из таблицы, с нашей точки зрения) или вниз (или «внутрь» стола, с нашей точки зрения).
Ужасное правило правой руки
Чтобы понять это, вы должны применить то, что называется правило правой руки . Когда я изучал физику в школе, я ненавидел правило правой руки. Каждый раз, когда я использовал его, мне приходилось вытаскивать книгу, чтобы посмотреть, как она работает. Надеюсь, мое описание будет немного более интуитивным, чем то, с которым я познакомился.
Если у вас есть a x b поместите правую руку на длину b так, чтобы ваши пальцы (кроме большого пальца) могли изгибаться и указывать вдоль a . Другими словами, вы как бы пытаетесь создать угол тета между ладонью и четырьмя пальцами правой руки. Большой палец в этом случае будет торчать прямо вверх (или за пределы экрана, если вы попытаетесь сделать это до компьютера). Ваши суставы будут примерно на одной линии с начальной точкой двух векторов. Точность не важна, но я хочу, чтобы вы уловили идею, поскольку у меня нет ее изображения.
Однако если вы рассматриваете b x a , вы сделаете наоборот. Вы положите правую руку на a и укажете пальцем на b . Если вы попытаетесь сделать это на экране компьютера, то обнаружите, что это невозможно, поэтому используйте свое воображение. Вы обнаружите, что в этом случае ваш воображаемый большой палец указывает на экран компьютера. Это направление результирующего вектора.
Правило правой руки показывает следующие отношения:
a x b = – b x a
cabc
c x = a y b z – a z b y
c y = a z b x – a x b z
c z = a x b y – a y b x
ab c x c y c
Заключительные слова
На более высоких уровнях векторы могут стать чрезвычайно сложными для работы. Целые курсы в колледже, такие как линейная алгебра, посвящают много времени матрицам (которых я любезно избегал в этом введении), векторам и векторным пространствам . Такой уровень детализации выходит за рамки данной статьи, но он должен обеспечить основу, необходимую для большинства векторных манипуляций, которые выполняются в классе физики. Если вы собираетесь изучать физику более глубоко, вы познакомитесь с более сложными векторными концепциями по мере прохождения обучения.