Вероятности броска двух игральных костей

Один из популярных способов изучения вероятности – бросать кости. На стандартном кубике шесть сторон напечатаны с маленькими точками с номерами 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Если кубик правильный (и мы предполагаем, что все они), то каждый из этих исходов одинаково вероятен. Поскольку существует шесть возможных исходов, вероятность получить любую сторону кубика составляет 1/6. Вероятность выпадения 1 равна 1/6, вероятность выпадения 2 равна 1/6 и так далее. Но что будет, если мы добавим еще один кубик? Каковы вероятности броска двух кубиков?

Содержание

Вероятность броска кубика
Таблица вероятностей бросания двух кубиков
Три или более кубика
Примеры задач

Вероятность броска кубика

Чтобы правильно определить вероятность броска кубика, мы необходимо знать две вещи:

Размер пространства выборки или набор общих возможных результатов
Как часто происходит событие.

Вероятно, событие представляет собой определенное подмножество выборочного пространства. Например, когда брошен только один кубик, как в приведенном выше примере, пробел равен всем значениям на кубике или набору (1, 2, 3, 4, 5, 6). Поскольку кубик правильный, каждое число в наборе встречается только один раз. Другими словами, частота каждого числа равна 1. Чтобы определить вероятность выпадения любого из чисел на кубике, мы делим частоту события (1) на размер области выборки (6), что дает вероятность 1/6.

Бросок двух справедливых игральных костей более чем вдвое увеличивает сложность вычисления вероятностей. Это связано с тем, что прокатка одной матрицы не зависит от прокатки второй. Один бросок не влияет на другой. Имея дело с независимыми событиями, мы используем правило умножения. Использование древовидной диаграммы показывает, что есть 6 x 6 = 36 возможных исходов от броска двух кубиков.

Предположим, что первый бросок кубика выпадает как a 1. Другой бросок кубика может быть 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Теперь предположим, что первый кубик – 2. Другой бросок кубика снова может быть 1, 2, 3, 4, 5. , или 6. Мы уже нашли 12 возможных результатов и еще не исчерпали все возможности первого кубика.

Таблица вероятностей бросания двух кубиков

Возможные результаты броска двух кубиков представлены в таблице ниже. Обратите внимание, что общее количество возможных результатов равно пространству выборки первого кубика (6), умноженному на пространство выборки второго кубика (6), которое равно 36..

	1	2	3	4	5
	(1, 1)	(1, 2)	(1, 3)	(1, 4)	(1, 5)	(1, 6)
2	(2, 1)	(2, 2)	(2, 3)	(2, 4)	(2, 5)	(2, 6)
3	(3, 1)	(3, 2)	(3, 3)	(3, 4)	(3, 5)	(3, 6 )
4	(4, 1)	(4, 2)	(4, 3)	(4, 4)	(4, 5)	(4, 6)
5	(5, 1)	(5, 2)	(5, 3 )	(5, 4)	(5, 5)	(5, 6)
6	(6, 1)	(6, 2)	(6, 3)	(6, 4)	(6, 5)	(6, 6)

Три или более кубика

То же Принцип применим, если мы работаем над задачами с тремя игральными костями. Мы умножаем и видим, что есть 6 x 6 x 6 = 216 возможных результатов. Поскольку писать повторное умножение становится громоздко, мы можем использовать экспоненты, чтобы упростить работу. Для двух кубиков существует 6 ² возможных исходов. Для трех кубиков существует 6 ³ возможных исходов. В общем, если мы бросаем n кубиков, то есть всего 6 ⁿ возможных результатов.

Примеры задач

Обладая этими знаниями, мы можем решать все виды вероятностных задач:

1. Бросаются две шестигранные кости. Какова вероятность того, что сумма двух кубиков равна семи?

Самый простой способ решить эту проблему – обратиться к таблице выше. Вы заметите, что в каждом ряду есть один бросок кубиков, где сумма двух кубиков равна семи. Поскольку рядов шесть, есть шесть возможных исходов, в которых сумма двух кубиков равна семи. Общее количество возможных исходов остается 36. Мы снова находим вероятность, разделив частоту событий (6) на размер пространства выборки (36), что дает вероятность 1/6.

2. Бросаются две шестигранные кости. Какова вероятность того, что сумма двух кубиков равна трем?

В предыдущей задаче вы могли заметить, что ячейки, в которых сумма двух кости равны семи образуют диагональ. То же самое и здесь, за исключением того, что в этом случае есть только две ячейки, в которых сумма кубиков равна трем. Это потому, что есть только два способа добиться такого результата.. Вы должны выбросить 1 и 2 или вы должны выбросить 2 и 1. Комбинации для выпадения суммы семи намного больше (1 и 6, 2 и 5, 3 и 4 и так далее). Чтобы найти вероятность того, что сумма двух кубиков равна трем, мы можем разделить частоту события (2) на размер пространства выборки (36), что даст вероятность 1/18.

3. Бросаются две шестигранные кости. Какова вероятность того, что числа на кубиках разные?

Опять же, мы можем легко решить эту проблему, посмотрев на таблицу выше. Вы заметите, что клетки, в которых числа на кубиках совпадают, образуют диагональ. Их всего шесть, и как только мы вычеркнем их, у нас будут оставшиеся ячейки, в которых числа на кубиках разные. Мы можем взять количество комбинаций (30) и разделить его на размер пространства выборки (36), что даст вероятность 5/6.