Неравенство Чебышева гласит, что по крайней мере 1-1/ K 2 данных из выборки должны попадать в K стандартные отклонения от среднего, где K – любое положительное действительное число больше единицы. Это означает, что нам не нужно знать форму распределения наших данных. Имея только среднее значение и стандартное отклонение, мы можем определить объем данных на определенное количество стандартных отклонений от среднего.
Ниже приведены некоторые практические проблемы. используя неравенство.
Пример № 1
Средняя высота класса второклассников составляет пять футов со стандартным отклонением одного дюйма. По крайней мере, какой процент класса должен составлять от 4 футов 10 дюймов до 5 футов 2 дюймов?
Решение
Высота, указанная в указанном выше диапазоне, находится в пределах двух стандартных отклонений от средней высоты в пять футов. Неравенство Чебышева гласит, что как минимум 1 – 1/2 2 = 3/4 = 75% класса находится в заданном диапазоне высоты.
Пример № 2
Было установлено, что компьютеры одной компании проработали в среднем три года без каких-либо сбоев оборудования со стандартным отклонением в два месяца. По крайней мере, какой процент компьютеров прослужит от 31 месяца до 41 месяца?
Решение
Среднее время жизни в три года соответствует до 36 месяцев. Каждый период от 31 месяца до 41 месяца составляет 5/2 = 2,5 стандартных отклонения от среднего значения. По неравенству Чебышева не менее 1 – 1/(2.5) 6 2 = 84% компьютеров служат от 31 до 41 месяца.
Пример № 3
Бактерии в культуре живут в среднем три часа со стандартным отклонением 10 минут. По крайней мере, какая часть бактерий живет от двух до четырех часов?
Решение
Два и четыре часа составляют каждый час подальше от среднего. Один час соответствует шести стандартным отклонениям. Таким образом, как минимум 1–1/6 2 = 35/36 = 97% бактерий живут от двух до четырех часов.
Пример # 4
Какое наименьшее количество стандартных отклонений от среднего значения, которое мы должны использовать, если мы хотим гарантировать, что у нас есть не менее 50% данных распределения?
Решение
Здесь мы используем неравенство Чебышева и работаем в обратном направлении. Нам нужно 50% = 0,50 = 1/2 = 1 – 1/ K 2 . Цель состоит в том, чтобы использовать алгебру для решения для K .
Мы видим, что 1/2 = 1/ K 2 . Перемножьте крест и увидите, что 2 = K 2 . Мы извлекаем квадратный корень из обеих частей, и поскольку K представляет собой число стандартных отклонений, мы игнорируем отрицательное решение уравнения. Это показывает, что K равно квадратному корню из двух. Таким образом, по крайней мере 50% данных находятся в пределах примерно 1,4 стандартных отклонения от среднего значения..
Пример № 5
Автобусный маршрут № 25 занимает в среднем 50 минут со стандартным отклонением 2 минуты. Рекламный плакат этой автобусной системы гласит, что «95% времени автобусного маршрута № 25 длится от ____ до _____ минут». Какими числами вы бы заполнили пробелы?
Решение
Этот вопрос похож на последний в том, что нам нужно для определения K , количества стандартных отклонений от среднего. Начните с установки 95% = 0,95 = 1 – 1/ K 2 . Это показывает, что 1 – 0,95 = 1/ K 2 . Упростите, чтобы увидеть, что 1/0,05 = 20 = K 2 . Итак, K = 4.47.
Теперь выразите это в терминах выше. По крайней мере, 95% всех поездок имеют стандартное отклонение 4,47 от среднего времени в 50 минут. Умножьте 4,47 на стандартное отклонение 2, чтобы получить девять минут. Таким образом, в 95% случаев автобусный маршрут № 25 занимает от 41 до 59 минут.
