Центральная предельная теорема является результатом теории вероятностей. Эта теорема часто встречается в области статистики. Хотя центральная предельная теорема может показаться абстрактной и лишенной какого-либо приложения, эта теорема на самом деле очень важна для практики статистики.
Так в чем именно важность центральной предельной теоремы? Все это связано с распределением нашего населения. Эта теорема позволяет упростить задачи в статистике, позволяя вам работать с примерно нормальным распределением.
Формулировка теоремы
Утверждение центральной предельной теоремы может показаться довольно техническим, но его можно понять, если продумать следующие шаги. Мы начинаем с простой случайной выборки из n особей из интересующей популяции. Из этой выборки мы можем легко сформировать выборочное среднее, которое соответствует среднему значению того измерения, которое нас интересует в нашей популяции.
Выборочное распределение для Среднее значение выборки получается путем многократного выбора простых случайных выборок из одной и той же совокупности и одинакового размера, а затем вычисления среднего значения выборки для каждой из этих выборок. Эти выборки следует рассматривать как независимые друг от друга.
Центральная предельная теорема касается выборочного распределения средних значений выборки. Мы можем спросить об общей форме распределения выборки. Центральная предельная теорема гласит, что это распределение выборки приблизительно нормальное – обычно известное как кривая колокола. Это приближение улучшается по мере увеличения размера простых случайных выборок, которые используются для создания выборочного распределения.
Есть очень удивительная особенность, касающаяся центрального предела теорема. Удивительным фактом является то, что эта теорема утверждает, что нормальное распределение возникает независимо от начального распределения. Даже если наша популяция имеет асимметричное распределение, которое возникает, когда мы исследуем такие вещи, как доходы или вес людей, выборочное распределение для выборки с достаточно большим размером выборки будет нормальным.
Центральная предельная теорема на практике
Неожиданное появление нормального распределения из искаженного (даже довольно сильно искаженного) распределения населения имеет очень важные приложения в статистической практике. Многие практики в статистике, например, связанные с проверкой гипотез или доверительными интервалами, делают некоторые предположения относительно совокупности, от которой были получены данные. Одно из предположений, которое изначально делается в курсе статистики, состоит в том, что популяции, с которыми мы работаем, распределены нормально.
Предположение, что данные получены из нормального распределения, упрощает имеет значение, но кажется немного нереальным. Небольшая работа с некоторыми реальными данными показывает, что выбросы, асимметрия, множественные пики и асимметрия появляются довольно регулярно.. Мы можем обойти проблему получения данных от ненормального населения. Использование подходящего размера выборки и центральной предельной теоремы помогает нам обойти проблему данных от ненормальных популяций.
Таким образом, даже если мы можем не знать форму распределения, откуда поступают наши данные, центральная предельная теорема гласит, что мы можем рассматривать распределение выборки, как если бы оно было нормальным. Конечно, чтобы выводы теоремы были верными, нам нужен достаточно большой размер выборки. Исследовательский анализ данных может помочь нам определить, какой размер выборки необходим для данной ситуации.