Понимание эквивалентных уравнений в алгебре

Эквивалентные уравнения – это системы уравнений, которые имеют одинаковые решения. Выявление и решение эквивалентных уравнений – ценный навык не только на уроках алгебры, но и в повседневной жизни. Взгляните на примеры эквивалентных уравнений, как решить их для одной или нескольких переменных и как вы можете использовать этот навык вне класса.

Ключевые выводы

  • Эквивалентные уравнения – это алгебраические уравнения, которые имеют одинаковые решения или корни.
  • Сложение или вычитание одинаковых число или выражение для обеих сторон уравнения дает эквивалентное уравнение.
  • Умножение или деление обеих сторон уравнения на одно и то же ненулевое число дает эквивалентное уравнение.

Линейные уравнения с одной переменной

В простейших примерах эквивалентных уравнений нет переменных. Например, эти три уравнения эквивалентны друг другу:

  • 3 + 2 = 5
  • 4 + 1 = 5
  • 5 + 0 = 5

Признать, что эти уравнения эквивалентны, – это здорово, но не особенно полезно. Обычно задача эквивалентного уравнения просит вас решить для переменной, чтобы увидеть, совпадает ли она (тот же корень ) с переменной в другом уравнении.

Например, следующие уравнения эквивалентны:

  • x = 5
  • -2x = -10

В обоих случаях x = 5. Откуда мы это знаем? Как вы решите это для уравнения «-2x = -10»? Первый шаг – узнать правила эквивалентных уравнений:

  • Добавление или вычитание одного и того же числа или выражения к обеим сторонам уравнения дает эквивалентное уравнение.
  • Умножение или деление обеих сторон уравнения на одно и то же ненулевое число дает эквивалентное уравнение.
  • Возведение обеих сторон уравнения в одна и та же нечетная степень или получение одного и того же нечетного корня приведет к эквивалентному уравнению.
  • Если обе части уравнения неотрицательны, возведение обеих сторон уравнения в одну и ту же четную степень или взятие одного и того же даже root даст эквивалентное уравнение.

Пример

Применяя эти правила на практике, определите, будут ли эти два уравнения эквивалентны:

  • x + 2 = 7
  • 2x + 1 = 11

Чтобы решить эту проблему, вам нужно найти «x» для каждого уравнения. Если «x» одинаково для обоих уравнений, то они эквивалентны. Если «x» отличается (т.е. уравнения имеют разные корни), то уравнения не эквивалентны.. Для первого уравнения:

  • x + 2 = 7
  • x + 2 – 2 = 7 – 2 (вычитая обе части на одно и то же число)
  • x = 5

Для второго уравнения:

  • 2x + 1 = 11
  • 2x + 1 – 1 = 11 – 1 (вычитая обе части на то же число)
  • 2x = 10
  • 2x/2 = 10/2 (разделив обе части уравнения на одно и то же число)
  • x = 5

Итак, да, два уравнения эквивалентны, потому что x = 5 в каждом случае.

Практические эквивалентные уравнения

Вы можете использовать эквивалентные уравнения в повседневной жизни. Это особенно полезно при покупках. Например, вам нравится определенная рубашка. Одна компания предлагает рубашку за 6 долларов с доставкой за 12 долларов, в то время как другая компания предлагает рубашку за 7,50 долларов с доставкой за 9 долларов. Какая рубашка имеет лучшую цену? Сколько рубашек (может быть, вы хотите подарить друзьям) вам нужно будет купить, чтобы цена была одинаковой для обеих компаний?

Чтобы решить эту проблему проблема, пусть “x” будет количество рубашек. Для начала установите x = 1 для покупки одной рубашки. Для компании №1:

  • Цена = 6x + 12 = (6) (1) + 12 = 6 + 12 = 18 долларов США

Для компании №2:

  • Price = 7,5x + 9 = (1) (7,5) + 9 = 7,5 + 9 = 16,50 долларов США

Итак, если вы покупаете одну рубашку , вторая компания предлагает более выгодную сделку.

Чтобы найти точку, в которой цены равны, оставьте «x» равным количеству рубашек, но установите два уравнения равны друг другу. Решите для “x”, чтобы найти, сколько рубашек вам нужно было бы купить:

  • 6x + 12 = 7,5x + 9
  • 6x – 7,5x = 9 – 12 (вычитание одинаковых чисел или выражений с каждой стороны)
  • -1,5x = -3
  • 1,5x = 3 (деление обеих сторон на одно и то же число, -1)
  • x = 3/1,5 (деление обеих сторон на 1,5)
  • x = 2

Если вы покупаете две рубашки, цена будет одинаковой, независимо от того, где вы их купите. Вы можете использовать ту же математику, чтобы определить, какая компания предлагает вам более выгодную сделку с более крупными заказами, а также подсчитать, сколько вы сэкономите, используя одну компанию по сравнению с другой. Видите ли, алгебра полезна!

Эквивалентные уравнения с двумя переменными

Если у вас есть два уравнения и два неизвестных (x и y ), вы можете определить, эквивалентны ли два набора линейных уравнений.

Например, если вам даны уравнения:

  • -3x + 12y = 15
  • 7x – 10y = -2

Вы можете определить, эквивалентна ли следующая система:

  • -x + 4y = 5
  • 7x -10y = -2

Чтобы решить эту проблему, найдите «x» и «y» для каждого система уравнений. Если значения совпадают, то системы уравнений эквивалентны.

Начните с первого набора. Чтобы решить два уравнения с двумя переменными, выделите одну переменную и подставьте ее решение в другое уравнение. Чтобы изолировать переменную “y”:

  • -3x + 12y = 15
  • -3x = 15 – 12y
  • x = – (15 – 12y)/3 = -5 + 4y (подставьте “x” во втором уравнении)
  • 7x – 10y = -2
  • 7 (-5 + 4y) – 10y = -2
  • -35 + 28y – 10y = -2
  • 18y = 33
  • y = 33/18 = 11/6

Теперь вставьте “y” обратно в любое уравнение, чтобы найти “x”:

  • 7x – 10y = -2
  • 7x = -2 + 10 (11/6)

Проработав это, вы в конечном итоге получите x = 7/3.

Чтобы ответить на вопрос, вы могли бы применить те же принципы ко второму набору уравнений для решения “x” и “y”. “чтобы убедиться, что да, они действительно эквивалентны. В алгебре легко увязнуть, поэтому неплохо проверить свою работу с помощью онлайн-решателя уравнений.

Однако умный ученик заметит два набора уравнений эквивалентны без каких-либо сложных вычислений. Единственное различие между первым уравнением в каждом наборе состоит в том, что первое в три раза больше второго (эквивалентного). Второе уравнение точно такое же.

Оцените статью
recture.ru
Добавить комментарий