Биномиальные распределения – важный класс дискретных распределений вероятностей. Эти типы распределений представляют собой серию n независимых испытаний Бернулли, каждое из которых имеет постоянную вероятность успеха p . Как и в случае любого распределения вероятностей, мы хотели бы знать, каково его среднее значение или центр. В связи с этим мы действительно спрашиваем: «Каково ожидаемое значение биномиального распределения?»
Интуиция против доказательства
Если мы внимательно подумаем о биномиальном распределении, нетрудно определить, что ожидаемое значение этого типа распределения вероятностей равно np. В качестве нескольких быстрых примеров рассмотрим следующее:
- Если мы подбрасываем 100 монет, а X – это количество орлов, ожидаемое значение X равно 50 = (1/2) 100.
- Если мы проводим тест с несколькими вариантами ответов с 20 вопросами, и каждый вопрос имеет четыре варианта (только один из которых правильно), то случайное угадывание означало бы, что мы ожидаем получить только (1/4) 20 = 5 правильных вопросов.
В В обоих этих примерах мы видим, что E [X] = np . Двух случаев недостаточно, чтобы сделать вывод. Хотя интуиция – хороший инструмент, чтобы направлять нас, ее недостаточно, чтобы сформулировать математический аргумент и доказать, что что-то верно. Как мы можем окончательно доказать, что ожидаемое значение этого распределения действительно является np?
Из определения ожидаемого значения и функция массы вероятности для биномиального распределения n испытаний вероятности успеха p , мы можем продемонстрировать, что наша интуиция совпадает с плодами математической строгости. Нам нужно быть несколько осторожными в нашей работе и ловкими в наших манипуляциях с биномиальным коэффициентом, который задается формулой для комбинаций.
Начнем с использования формула:
E [X] = Σ x = 0 n x C (n, x) p x (1-p) n – x .
Поскольку каждый член суммирования умножается на x , значение члена, соответствующее x = 0 будет 0, и поэтому мы можем написать:
E [X] = Σ x = 1 n x C (n, x) p x (1 – p) n – x .
Управляя факториалами, включенными в выражение для C (n, x) , мы можем переписать
x C (n, x) = n C (n – 1, x – 1).
Это верно, потому что:
x C (n, x) = xn!/(x! (n – x) !) = п!/((х – 1)! (п – х)!) = п (п – 1)!/((х – 1)! ((п – 1) – (х – 1))! ) = n C (n – 1, x – 1).
Отсюда следует, что:
E [X ] = Σ x = 1 n n C (n – 1, x – 1) p x (1 – p) n – x .
Мы вынимаем n и один p из приведенного выше выражения:
E [X] = np Σ x = 1 n C (n – 1, x – 1) p x – 1 (1 – p) (n – 1) – (x – 1) .
Замена переменных r = x – 1 дает нам:
E [X] = np Σ r = 0 n – 1 C (n – 1, r) p r (1 – p) (n – 1) – r .
По биномиальной формуле (x + y) k = Σ r = 0 k C (k, r) x r y k – r суммирование выше можно переписать:
E [X] = (np) (p + (1 – p)) n – 1 = np.
Приведенный выше аргумент позволил нам пройти долгий путь. Начиная только с определения математического ожидания и вероятностной функции массы для биномиального распределения, мы доказали то, что подсказывала нам наша интуиция. Ожидаемое значение биномиального распределения B (n, p) равно np .
