Математические свойства волн.

Физические волны или механические волны образуются из-за вибрации среды, будь то струна, земная кора или частицы газов и жидкостей. Волны обладают математическими свойствами, которые можно проанализировать, чтобы понять движение волны. В этой статье представлены эти общие волновые свойства, а не то, как их применять в конкретных ситуациях в физике.

Поперечные и продольные волны

Есть два типа механических волн.

А такое, что перемещения среды перпендикулярны (поперечны) направлению движения волны вдоль средний. Вибрация струны в периодическом движении, когда волны движутся по ней, является поперечной волной, как и волны в океане.

A продольная волна такова, что смещения среды происходят туда и обратно в том же направлении, что и сама волна. Звуковые волны, когда частицы воздуха толкаются в направлении движения, являются примером продольной волны.

Хотя волны, обсуждаемые в этой статье будет относиться к путешествию в среде, математика, представленная здесь, может быть использована для анализа свойств немеханических волн. Электромагнитное излучение, например, может перемещаться в пустом пространстве, но при этом имеет те же математические свойства, что и другие волны. Например, хорошо известен эффект Доплера для звуковых волн, но существует аналогичный эффект Доплера для световых волн, и они основаны на тех же математических принципах.

Что вызывает волны?

1. Волны можно рассматривать как возмущение в среде около состояния равновесия, которое обычно находится в состоянии покоя. Энергия этого возмущения вызывает волновое движение. Водный бассейн находится в равновесии, когда нет волн, но как только в него бросают камень, равновесие частиц нарушается, и начинается волновое движение.
2. Возмущение воды волна распространяется или распространяется с определенной скоростью, называемой скоростью волны ( v ).
3. Волны переносят энергию, но не материю. Сама среда не путешествует; отдельные частицы совершают возвратно-поступательное или восходящее движение вокруг положения равновесия.

Волновая функция

Чтобы математически описать волновое движение, мы обращаемся к концепции волновой функции , которая описывает положение частицы в среде в любой момент времени. Самая основная из волновых функций – это синусоидальная волна или синусоидальная волна, которая является периодической волной (т.е. волной с повторяющимся движением).

Важно отметить, что волновая функция не отображает физическую волну, а представляет собой график смещения относительно положения равновесия.. Это может сбивать с толку, но полезно то, что мы можем использовать синусоидальную волну для изображения большинства периодических движений, таких как движение по кругу или качание маятника, которые не обязательно выглядят волнообразно, когда вы смотрите на фактическое изображение. движение.

Свойства волновой функции

• скорость волны ( v ) – скорость распространения волны.
• амплитуда ( A ) – максимальная величина отклонения от положения равновесия в метрах в системе СИ. В общем, это расстояние от равновесной средней точки волны до ее максимального смещения, или это половина полного смещения волны.
• период ( T ) – это время для одного волнового цикла (два импульса или от гребня до гребня или от впадины до впадины) в секундах в системе СИ (хотя это может называться “секунды на цикл “).
• частота ( f ) – количество циклов в единице времени. Единица измерения частоты в системе СИ – герц (Гц) и
  

  1 Гц = 1 цикл/с = 1 с ^-1

• угловая частота ( ω ) – в 2 π раз больше частоты в радианах в секунду в единицах СИ.
• wavelength ( λ ) – расстояние между любыми двумя точками в соответствующих положениях при последовательных повторениях в волне, поэтому (для пример) от одного гребня или впадины к другому в единицах СИ в метрах.
• волновое число ( k ) – также называется постоянной распространения , это полезно количество определяется как 2 π , деленное на длину волны, поэтому единицы СИ – радианы на метр.
• pulse – один на половине длины волны, от обратного равновесия

Вот некоторые полезные уравнения для определения вышеуказанных величин:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π / T

T = 1/ f = 2 π / ω

k = 2 π / ω

ω = vk

Вертикальное положение точки на волне, y , можно найти как функцию горизонтального положения, x , и времени, t , когда мы смотрим на это. Мы благодарим добрых математиков за выполнение этой работы для нас и получение следующих полезных уравнений для описания волнового движения:

y ( x, t ) = A sin ω ( t – x / v ) = A sin 2 π f ( t – x / v )

y ( x, t ) = A sin 2 π ( t / T – x / v )

y ( x, t ) = A sin ( ω t – kx)

Волновое уравнение

Последняя особенность волновой функции заключается в том, что применение исчисления для взятия второй производной дает волновое уравнение , который является интригующим, а иногда и полезным продуктом (за который мы еще раз благодарим математиков и принимаем, не доказывая его):

d ² y / dx ² = (1 / v ² ) d ² y / dt ²

Вторая производная от y по x эквивалентно второй производной от y по t , деленной на квадрат скорости волны. Основная полезность этого уравнения заключается в том, что всякий раз, когда оно возникает, мы знаем, что функция y действует как волна со скоростью волны v и, следовательно, ситуацию можно описать с помощью волновой функции .