Биномиальные распределения вероятностей полезны в ряде случаев. Важно знать, когда следует использовать этот тип распределения. Мы рассмотрим все условия, необходимые для использования биномиального распределения.
Основные функции, которые мы должны иметь, – это всего n независимых испытаний проводятся, и мы хотим выяснить вероятность r успехов, где каждый успех имеет вероятность p возникновения . В этом кратком описании сказано и подразумевается несколько вещей. Определение сводится к этим четырем условиям:
- Фиксированное количество испытаний
- Независимые испытания
- Две разные классификации
- Вероятность успеха остается одинаковой для всех испытаний
Все они должны присутствовать в исследуемом процессе, чтобы использовать формулу или таблицы биномиальной вероятности. Ниже приводится краткое описание каждого из них.
Фиксированные испытания
Исследуемый процесс должен иметь четко определенное количество испытаний которые не меняются. Мы не можем изменить это число в середине нашего анализа. Каждое испытание должно проводиться так же, как и все другие, хотя результаты могут отличаться. Количество испытаний обозначается в формуле знаком n .
Пример фиксированных испытаний для процесса: включает изучение результатов десятикратного броска кости. Здесь каждый бросок кубика – это испытание. Общее количество раз, которое проводится каждое испытание, определяется с самого начала.
Независимые испытания
В каждом из испытаний быть независимым. Каждое испытание не должно иметь абсолютно никакого влияния на другие. Классические примеры бросания двух игральных костей или нескольких монет иллюстрируют независимые события. Поскольку события независимы, мы можем использовать правило умножения для умножения вероятностей.
На практике, особенно из-за некоторых методов выборки, могут быть времена, когда испытания не являются технически независимыми. В таких ситуациях иногда можно использовать биномиальное распределение, если генеральная совокупность больше по сравнению с выборкой.
Две классификации
Каждое из испытаний разделено на две категории: успешные и неудачные. Хотя мы обычно думаем об успехе как о чем-то положительном, нам не следует слишком углубляться в этот термин. Мы указываем, что испытание является успешным, поскольку оно соответствует тому, что мы решили назвать успешным.
В качестве крайнего случая, чтобы проиллюстрировать это, Предположим, мы проверяем интенсивность отказов лампочек. Если мы хотим знать, сколько в партии не сработает, мы можем определить успех нашего испытания, как если бы у нас возникла неисправная лампочка. Провал испытания – когда лампочка работает. Это может показаться немного отсталым, но могут быть некоторые веские причины для определения успехов и неудач нашего испытания, как это делали мы. В целях маркировки может быть предпочтительнее подчеркнуть, что существует низкая вероятность того, что лампочка не работает, а не высокая вероятность того, что лампочка заработает.
Одинаковые вероятности
Вероятности успешных испытаний должны оставаться одинаковыми на протяжении всего процесса, который мы изучаем. Подбрасывание монет – один из примеров этого. Независимо от того, сколько монет подброшено, вероятность каждый раз переворачивать голову равна 1/2.
Это еще одно место, где теория и практика немного отличаются . Выборка без замены может привести к тому, что вероятности каждого испытания будут незначительно отличаться друг от друга. Предположим, из 1000 собак 20 гончих. Вероятность выбора бигля наугад составляет 20/1000 = 0,020. Теперь снова выберите из оставшихся собак. Из 999 собак 19 гончих. Вероятность выбора другого бигля составляет 19/999 = 0,019. Значение 0,2 является подходящей оценкой для обоих этих испытаний. Пока популяция достаточно велика, такой вид оценки не создает проблем с использованием биномиального распределения.