Один из способов вычисления среднего и дисперсии вероятностного распределения – это найти ожидаемые значения случайных величин X и X 2 . Мы используем обозначения E ( X ) и E ( X 2 ) для обозначения этих ожидаемых значений. Как правило, трудно вычислить E ( X ) и E ( X 2 ) напрямую. Чтобы обойти эту трудность, мы используем более продвинутую математическую теорию и вычисления. Конечный результат – это то, что упрощает наши вычисления.
Стратегия решения этой проблемы состоит в том, чтобы определить новую функцию новой переменной t , которая называется функцией, производящей момент. Эта функция позволяет нам вычислять моменты, просто беря производные.
Допущения
Прежде чем мы определим функцию, производящую момент, мы начнем установив сцену с обозначениями и определениями. Мы позволяем X быть дискретной случайной величиной. Эта случайная величина имеет функцию массы вероятности f ( x ). Пространство выборки, с которым мы работаем, будет обозначено S.
Вместо вычисления ожидаемого значения X , мы хотим вычислить ожидаемое значение экспоненциальной функции, связанной с X . Если существует положительное действительное число r такое, что E(etX ) существует и конечен для всех t в интервале [- r , r ], то мы можем определить функция, производящая момент для X.
Определение
Функция, производящая момент, является ожидаемой значение показательной функции выше. Другими словами, мы говорим, что функция, производящая момент для X , задается:
M ( t ) = E(etX )
Это ожидаемое значение представляет собой формулу Σ e tx f ( x ), где суммирование ведется по всем x в пространстве выборки S . Это может быть конечная или бесконечная сумма, в зависимости от используемого пространства выборки.
Свойства
Функция создания момента имеет множество функций, которые связаны с другими темами вероятности и математической статистики. Некоторые из его наиболее важных функций включают:
- Коэффициент при e tb – это вероятность того, что X = b .
- Функции создания моментов обладают свойством уникальности. Если производящие моменты для двух случайных величин совпадают, то функции вероятностных масс должны быть одинаковыми. Другими словами, случайные величины описывают одно и то же распределение вероятностей.
- Функции генерирования моментов могут использоваться для вычисления моментов X .
Расчет моментов
Последний пункт в списке выше объясняет название функций, генерирующих моменты, а также их полезность. Некоторые продвинутые математики говорят, что при изложенных нами условиях производная любого порядка функции M ( t ) существует, когда t = 0. Кроме того, в этом случае мы можем изменить порядок суммирования и дифференцирования относительно t , чтобы получить следующие формулы (все суммирования производятся по значениям x в пробеле S):
- M ‘( t ) = Σ xetx f ( x )
- M ” ( t ) = Σ x2etx f ( x )
- M ” ‘( t ) = Σ x 3 e tx f ( x )
- M (n) ‘( t ) = Σ x n e tx f ( x )
Если мы установим t = 0 в приведенных выше формулах, то e tx m> член становится e 0 = 1. Таким образом, мы получаем формулы для моментов случайной величины X :
- M ‘(0) = E ( X )
- M ” (0) = E ( X 2 )
- M ” ‘(0) = E ( X 3 )
- M ( n ) (0) = E(Xn )
Это означает, что если функция создания момента существует для конкретной случайной величины, то мы можем найти ее среднее значение и дисперсию в терминах производных. производящей функции момента. Среднее значение составляет M ‘(0), а дисперсия составляет M ‘ ‘(0) – [ M ‘ (0)] 2 .
Резюме
Таким образом, нам пришлось перейти вброд в довольно мощную математику, поэтому некоторые вещи были замалчены. Хотя мы должны использовать исчисление для вышеупомянутого, в конечном итоге наша математическая работа обычно проще, чем вычисление моментов непосредственно из определения.