Момент инерции объекта – это числовое значение, которое может быть вычислено для любого твердого тела, которое физически вращается вокруг фиксированной оси. Он основан не только на физической форме объекта и его распределении массы, но и на конкретной конфигурации того, как объект вращается. Таким образом, один и тот же объект, вращающийся по-разному, будет иметь разный момент инерции в каждой ситуации.
Общая формула
Общая формула представляет собой самое основное концептуальное понимание момента инерции. В принципе, для любого вращающегося объекта момент инерции можно рассчитать, взяв расстояние каждой частицы от оси вращения ( r в уравнении), возведя это значение в квадрат (это r 2 term) и умножая его на массу этой частицы. Вы делаете это для всех частиц, составляющих вращающийся объект, а затем складываете эти значения вместе, и это дает момент инерции.
Следствием этой формулы является то, что один и тот же объект получает разное значение момента инерции в зависимости от того, как он вращается. Новая ось вращения заканчивается другой формулой, даже если физическая форма объекта остается прежней.
Эта формула представляет собой наиболее грубый подход к вычислению момента инерции. Другие приведенные формулы обычно более полезны и представляют собой наиболее распространенные ситуации, с которыми сталкиваются физики.
Интегральная формула
Общая формула полезна, если объект можно рассматривать как набор дискретных точек, которые можно складывать. Однако для более сложного объекта может потребоваться применить исчисление, чтобы взять интеграл по всему объему. Переменная r – это радиус-вектор от точки до оси вращения. Формула p ( r ) – это функция плотности массы в каждой точке r:
I-sub-P равно сумме i от 1 до N количества m-sub-i, умноженного на r-sub-i в квадрате.
Solid Sphere
Сплошная сфера, вращающаяся вокруг оси, проходящей через центр сферы, с массой M и радиусом R , имеет момент инерции определяется по формуле:
I = (2/5) MR 2
Полая тонкостенная сфера
Пустота сфера с тонкой незначительной стенкой, вращающейся вокруг оси, проходящей через центр сферы, с массой M и радиусом R , имеет момент инерции определяется по формуле:
I = (2/3) MR 2
Твердый цилиндр
Сплошной цилиндр, вращающийся вокруг оси, проходит через центр цилиндра с массой M и радиусом R , имеет момент инерции, определяемый по формуле:
I = (1/2) MR 2
Полый тонкостенный цилиндр
Полый цилиндр с тонкой незначительной стенкой, вращающейся вокруг оси, проходящей через центр цилиндра, с массой M и радиусом R , имеет момент инерции определяется по формуле:
I = MR 2
Полый цилиндр
Полый цилиндр с вращающейся вокруг оси, проходящей через центр цилиндра, с массой M , внутренним радиусом R 1 , а внешний радиус R 2 имеет момент инерции, определяемый формулой:
I = (1/2) M ( R 1 2 + R 2 2 )
Примечание: если вы взяли эту формулу и установили R 1 = R 2 = R (или, что более уместно, принял математический предел как R 1 и R 2 приближаются к общему радиусу R ) получилась бы формула момента инерции полого тонкостенного цилиндра.
Прямоугольная пластина, ось через центр
Тонкая прямоугольная пластина, вращающаяся вокруг оси, перпендикулярной центру пластины, с массой M и длины сторон a и b , имеет момент инерции, определяемый формулой:
I = (1 /12) M ( a 2 + b 2 )
Прямоугольная пластина, ось вдоль кромки
Тонкая прямоугольная пластина, вращающаяся вокруг оси вдоль одной кромки пластины, с массой M и длины сторон a и b , где a – расстояние, перпендикулярное оси вращения, имеет момент инерции, определяемый формулой:
I = (1/3) Ma 2
Тонкий стержень, ось через центр
Тонкий стержень, вращающийся вокруг оси, проходящей через центр стержня (перпендикулярно его длине), с массой M и длина L , имеет момент инерции, определяемый формулой:
I = (1/12) ML 2
Тонкий стержень, ось через один конец
Тонкий стержень, вращающийся вокруг оси, проходящей через конец стержня (перпендикулярно его длина), с массой M и длиной L , имеет момент инерции, определяемый формулой:
I = ( 1/3) ML 2