Приведенная ниже формула используется для расчета предела погрешности для доверительного интервала среднего генеральной совокупности. Условия, необходимые для использования этой формулы, заключаются в том, что мы должны иметь выборку из нормально распределенной генеральной совокупности и знать стандартное отклонение генеральной совокупности. Символ E обозначает погрешность неизвестного среднего значения генеральной совокупности. Ниже приводится объяснение каждой переменной.
Уровень уверенности
Символ α – греческая буква альфа. Это связано с уровнем уверенности, с которым мы работаем для нашего доверительного интервала. Любой процент менее 100% возможен для уровня уверенности, но для получения значимых результатов нам необходимо использовать числа, близкие к 100%. Общие уровни достоверности составляют 90%, 95% и 99%.
Значение α определяется путем вычитания нашего уровня достоверности из единицы и записи результата в виде десятичной дроби. Таким образом, уровень уверенности 95% будет соответствовать значению α = 1 – 0,95 = 0,05.
Критическое значение
Критическое значение для нашей формулы допустимой погрешности обозначено z α/2 . Это точка z * в стандартной таблице нормального распределения оценок z , для которой область α/2 лежит выше z. *. Альтернативно, это точка на кривой колокола, для которой область 1 – α лежит между – z * и z *.
При уровне уверенности 95% мы имеем значение α = 0,05. z -score z * = 1,96 имеет площадь 0,05/2 = 0,025 справа. Верно также, что существует общая область 0,95 между z-оценками от -1,96 до 1,96.
Ниже приведены критические значения для общих уровней достоверности. Другие уровни достоверности можно определить с помощью процесса, описанного выше.
- 90% -ный уровень достоверности имеет α = 0,10 и критическое значение z α/2 = 1,64.
- 95% уровень достоверности имеет α = 0,05 и критическое значение z α/2 = 1,96.
- Уровень достоверности 99% имеет α = 0,01 и критическое значение z α/2 = 2,58.
- Уровень достоверности 99,5% имеет α = 0,005 и критическое значение z α/2 = 2,81.
Стандартное отклонение
Греческая буква сигма, выраженная как σ, представляет собой стандартное отклонение совокупности, которую мы учатся. Используя эту формулу, мы предполагаем, что знаем, каково это стандартное отклонение. На практике мы не обязательно можем знать наверняка, каково на самом деле стандартное отклонение населения. К счастью, есть несколько способов обойти это, например, использовать другой тип доверительного интервала..
Размер выборки
Размер выборки обозначен в формуле как n . Знаменатель нашей формулы состоит из квадратного корня из размера выборки.
Порядок операций
Поскольку существует несколько шагов с разными арифметическими шагами, порядок операций очень важно при расчете погрешности E . После определения подходящего значения z α/2 умножьте его на стандартное отклонение. Вычислите знаменатель дроби, сначала найдя квадратный корень из n , а затем разделив его на это число.
Анализ
Есть несколько особенностей формулы, которые заслуживают внимания:
- Несколько неожиданная особенность формулы состоит в том, что помимо основных предположений, сделанных о совокупности, формула для предела ошибки не зависит от размера совокупности.
- Поскольку предел ошибки обратно пропорционален квадрату корня из размера выборки, чем больше выборка, тем меньше предел погрешности.
- Наличие квадратного корня означает, что мы должны резко увеличить размер выборки, чтобы иметь какое-либо влияние на погрешность. Если у нас есть конкретная погрешность, равная половине, и мы хотим сократить ее вдвое, то при том же уровне достоверности нам нужно будет в четыре раза увеличить размер выборки.
- Чтобы сохранить погрешность на уровне данное значение при увеличении уровня уверенности потребует от нас увеличения размера выборки.