В этой статье излагаются фундаментальные концепции, необходимые для анализа движения объектов в двух измерениях, без учета сил, вызывающих ускорение. Примером такого типа задач может быть бросок мяча или выстрел из пушечного ядра. Он предполагает знакомство с одномерной кинематикой, поскольку он расширяет те же концепции в двумерное векторное пространство.
Выбор координат
Кинематика включает в себя смещение, скорость и ускорение, которые являются векторными величинами, которые требуют как величины, так и направления. Следовательно, чтобы приступить к задаче двумерной кинематики, вы должны сначала определить систему координат, которую вы используете. Обычно это будет с точки зрения оси x и оси y , ориентированных так, чтобы движение было в положительном направлении, хотя могут быть некоторые обстоятельства, когда это не лучший метод.
В случаях, когда рассматривается гравитация, принято делать направление гравитации отрицательным – y направление. Это соглашение, как правило, упрощает задачу, хотя при желании можно было бы выполнять вычисления с другой ориентацией.
Вектор скорости
Вектор положения r – это вектор, идущий от начала координат системы до заданной точки в системе. Изменение положения (Δ r , произносится как «Дельта r ») – это разница между начальной точкой ( r 1 ) до конечной точки ( r 2 ). Мы определяем среднюю скорость ( v av ) как:
v av = ( r 2 – r 1 )/( t 2 – t 1 ) = Δ r /Δ t
Принимая предел, когда Δ t приближается к 0, мы достигаем мгновенной скорости v . С точки зрения исчисления, это производная от r по t или d r / dt .
По мере уменьшения разницы во времени начальная и конечная точки сближаются. Поскольку направление r совпадает с направлением v , оно становится ясно, что вектор мгновенной скорости в каждой точке на пути касается пути .
Компоненты скорости
Полезной чертой векторных величин является то, что они могут быть разбиты на составляющие их векторы.. Производная вектора – это сумма его составляющих производных, поэтому:
v x = dx / dt
v y = dy / dt
Величина вектора скорости задается Теорема Пифагора в форме:
| v | = v = sqrt ( v x 2 + v y 2 )
Направление v ориентирован на альфа градусов против часовой стрелки от x -компонента и может быть вычисляется по следующему уравнению:
tan alpha = v y / v x
Вектор ускорения
Ускорение – это изменение скорости за определенный период времени. Как и в предыдущем анализе, мы обнаруживаем, что это Δ v /Δ t . Предел этого, когда Δ t приближается к 0, дает производную от v по t .
В терминах компонентов вектор ускорения можно записать как:
a x = dv x / dt
a y = dv y / dt
или
ax = d 2 x / dt 2
a y = d 2 y / dt 2
Величина и угол (обозначены как beta , чтобы отличать от alpha ) Вектор чистого ускорения вычисляется с компонентами аналогично компонентам скорости.
Работа с компонентами
Часто два- размерная кинематика предполагает нарушение соответствующие векторы в их x – и y -компоненты, затем анализируя каждый из компонентов, как если бы они были одномерными случаями. После завершения этого анализа компоненты скорости и/или ускорения затем объединяются вместе для получения результирующих двумерных векторов скорости и/или ускорения.
Трехмерная кинематика
Все приведенные выше уравнения могут быть расширены для движения в трех измерениях, добавив к анализу компонент z . Обычно это довольно интуитивно понятно, хотя необходимо проявлять осторожность, чтобы убедиться, что это сделано в правильном формате, особенно в отношении расчета угла ориентации вектора.
Отредактировала Энн Мари Хелменстайн, доктор философии.