Когда ничего не может быть? Это кажется глупым вопросом и довольно парадоксальным. В математической области теории множеств обычным явлением является то, что ничто не может быть чем-то иным, чем ничем. Как это может быть?
Когда мы формируем набор без элементов, у нас больше ничего нет. У нас есть набор, в котором ничего нет. У набора есть специальное имя, которое не содержит элементов. Это называется пустым или нулевым набором.
Тонкое отличие
Определение пустого набора довольно тонкое и требует немного подумал. Важно помнить, что мы думаем о множестве как о совокупности элементов. Сам набор отличается от элементов, которые он содержит.
Например, мы рассмотрим {5}, который представляет собой набор, содержащий элемент 5. Набор {5} не является числом. Это набор с числом 5 в качестве элемента, тогда как 5 – это число.
Аналогичным образом, пустой набор – это не ничто. Вместо этого это набор без элементов. Это помогает думать о наборах как о контейнерах, а элементы – это те вещи, которые мы помещаем в них. Пустой контейнер остается контейнером и аналогичен пустому набору.
Уникальность пустого набора
Пустой set уникален, поэтому вполне уместно говорить о пустом наборе, а не о пустом наборе. Это отличает пустой набор от других наборов. Существует бесконечно много наборов с одним элементом. Каждый набор {a}, {1}, {b} и {123} имеет один элемент, поэтому они эквивалентны друг другу. Поскольку сами элементы отличаются друг от друга, наборы не равны.
Нет ничего особенного в приведенных выше примерах, каждый из которых имеет по одному элементу. За одним исключением, для любого счетного числа или бесконечности существует бесконечно много наборов такого размера. Исключение составляет число ноль. Есть только один набор, пустой набор, в котором нет никаких элементов.
Математическое доказательство этого факта несложно. Сначала мы предполагаем, что пустое множество не уникально, что есть два набора без элементов в них, а затем используем несколько свойств из теории множеств, чтобы показать, что это предположение влечет противоречие.
Обозначения и терминология для пустого набора
Пустое множество обозначается символом ∅, который происходит от аналогичного символа в датском алфавите. Некоторые книги относятся к пустому набору по его альтернативному имени – пустому набору.
Свойства пустого набора
Поскольку существует только один пустой набор, стоит посмотреть, что произойдет, когда операции над множеством пересечения, объединения и дополнения используются с пустым набором и общим набором, который мы обозначим как X . Также интересно рассмотреть подмножество пустого множества, и когда пустое множество является подмножеством. Эти факты собраны ниже:
- Пересечение любого набора с пустым набором является пустым набором. Это связано с тем, что в пустом наборе нет элементов, и поэтому два набора не имеют общих элементов. В символах мы пишем X ∩ ∅ = ∅.
- Объединение любого набора с пустым набором – это набор, с которого мы начали. Это связано с тем, что в пустом наборе нет элементов, и поэтому мы не добавляем никаких элементов к другому набору при формировании объединения. В символах мы пишем X U ∅ = X .
- Дополнением к пустому множеству является универсальный набор для настройка, в которой мы работаем. Это потому, что набор всех элементов, не входящих в пустой набор, является просто набором всех элементов.
- Пустой набор – это подмножество любого набора. Это потому, что мы формируем подмножества набора X , выбирая (или не выбирая) элементы из X . Один из вариантов для подмножества – вообще не использовать элементы из X . Это дает нам пустой набор.