Имея дело с теорией множеств, существует ряд операций по созданию новых множеств из старых. Одна из наиболее распространенных операций над множеством называется пересечением. Проще говоря, пересечение двух наборов A и B – это набор всех элементов, которые оба A и B имеют что-то общее.
Мы рассмотрим детали, касающиеся пересечения в теории множеств. Как мы увидим, ключевым словом здесь является слово «и».
Пример
Пример того, как пересечение двух наборов образует новый набор, давайте рассмотрим наборы A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3 , 4, 5, 6, 7, 8}. Чтобы найти пересечение этих двух множеств, нам нужно выяснить, какие элементы у них общие. Числа 3, 4, 5 являются элементами обоих наборов, поэтому пересечение A и B равно {3. 4. 5].
Обозначение для пересечения
Помимо понимания концепций, касающихся операций теории множеств, важно уметь читать символы, используемые для обозначения этих операций. Символ пересечения между двумя наборами иногда заменяется словом «и». Это слово предлагает более компактное обозначение пересечения, которое обычно используется.
Символ, используемый для пересечения двух множеств A и B задается как A ∩ B . Один из способов запомнить, что этот символ ∩ относится к пересечению, – это заметить его сходство с заглавной A, которая является сокращением от слова «и».
To см. эту запись в действии, вернитесь к приведенному выше примеру. Здесь у нас были наборы A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Итак, мы бы записали заданное уравнение A ∩ B = {3, 4, 5}.
Пересечение с пустым множеством
Одна базовая идентичность, которая включает пересечение, показывает нам, что происходит, когда мы берем пересечение любого множества с пустым множеством, обозначенное # 8709. Пустой набор – это набор без элементов. Если хотя бы в одном из наборов, которые мы пытаемся найти пересечение, нет элементов, то эти два набора не имеют общих элементов. Другими словами, пересечение любого набора с пустым набором даст нам пустой набор.
Эта идентичность становится еще более компактной с использованием нашей нотации . У нас есть тождество: A ∩ ∅ = ∅.
Пересечение с универсальным набором
С другой стороны, что происходит, когда мы исследуем пересечение множества с универсальным множеством? Подобно тому, как слово «вселенная» используется в астрономии для обозначения всего, универсальный набор содержит каждый элемент. Отсюда следует, что каждый элемент нашего множества также является элементом универсального множества. Таким образом, пересечение любого множества с универсальным множеством – это тот набор, с которого мы начали..
И снова наша нотация приходит на помощь, чтобы выразить это тождество более лаконично. Для любого набора A и универсального набора U A ∩ U = A.
Другие идентичности, связанные с пересечением
Есть еще много уравнений, которые предполагают использование операции пересечения. Конечно, всегда полезно практиковаться, используя язык теории множеств. Для всех наборов A , B и D у нас есть:
- Рефлексивное свойство: A ∩ A = A
- Коммутативное свойство: A ∩ B = B ∩ A
- Ассоциативное свойство: ( A ∩ B ) ∩ D = A ∩ ( B ∩ D )
- Распределительное свойство: ( A ∪ B ) ∩ D = ( A ∩ D ) ∪ ( B ∩ D )
- Закон ДеМоргана I: ( A ∩ B ) C = A C ∪ B C
- Закон ДеМоргана II: ( A ∪ B ) C = A C ∩ B C