Условные утверждения встречаются повсюду. В математике или где-либо еще нетрудно найти что-то вроде «Если P , то Q ». Условные утверждения действительно важны. Также важны операторы, которые связаны с исходным условным оператором путем изменения положения P , Q и отрицания оператора. Начиная с исходного оператора, мы получаем три новых условных оператора, которые называются обратным, противоположным и обратным.
Отрицание
Прежде чем мы определим обратное, противоположное и обратное условному выражению, нам нужно изучить тему отрицания. Каждое утверждение в логике либо истинно, либо ложно. Отрицание утверждения просто включает в себя вставку слова «не» в нужной части утверждения. Добавление слова «не» сделано для того, чтобы изменить статус истинности утверждения.
Это поможет посмотреть на примере. Утверждение «Прямоугольный треугольник равносторонний» имеет отрицание «Прямоугольный треугольник не является равносторонним». Отрицание «10 – четное число» означает утверждение «10 – не четное число». Конечно, в этом последнем примере мы могли бы использовать определение нечетного числа и вместо этого сказать, что «10 – нечетное число». Отметим, что истинность утверждения противоположна истине отрицания.
Мы рассмотрим эту идею в более абстрактной обстановке. Когда утверждение P истинно, утверждение «not P » ложно. Точно так же, если P ложно, его отрицание «not P » истинно. Отрицания обычно обозначаются тильдой ~. Поэтому вместо записи «not P » мы можем написать ~ P .
Обратное, Контрапозитивное и Обратное
Теперь мы можем определить обратное, противоположное и обратное условному утверждению. Мы начинаем с условного оператора «Если P , то Q.nds
- Обращение условного оператора: «Если Q , то P ».
- Противоположность условного утверждение: «Если не Q , то не P ».
- Обратное условному выражению – «Если не P , а не Q . ”
Мы увидим, как эти утверждения работать с примером. Предположим, мы начинаем с условного оператора «Если прошлой ночью шел дождь, значит, тротуар мокрый».
- Обратное условному выражению – «Если тротуар мокрый, значит, прошлой ночью шел дождь».
- Противоположным условному утверждению является «Если тротуар не мокрый, значит, вчера вечером дождя не было».
- Обратное условному выражению: «Если прошлой ночью не было дождя, значит, тротуар не мокрый.. ”
Логическая эквивалентность
Мы можем задаться вопросом, почему важно формировать эти другие условные операторы из нашего начального один. Внимательный взгляд на приведенный выше пример кое-что показывает. Предположим, что исходное утверждение «Если прошлой ночью шел дождь, значит, тротуар мокрый» верно. Какое из других утверждений также должно быть верным?
- Обратное утверждение: «Если тротуар мокрый, значит, прошлой ночью шел дождь» не обязательно верно. Тротуар может быть мокрым по другим причинам.
- Обратное утверждение: «Если прошлой ночью не было дождя, значит, тротуар не мокрый» не всегда верно. Опять же, то, что не было дождя, не означает, что тротуар не мокрый.
- Противоположное высказывание «Если тротуар не мокрый, значит, вчера вечером не было дождя» – верное утверждение.
То, что мы видим из этого примера (и то, что может быть доказано математически), – это то, что условное утверждение имеет то же значение истинности, что и его контрпозитив. Мы говорим, что эти два утверждения логически эквивалентны. Мы также видим, что условный оператор логически не эквивалентен своему обратному и обратному.
Поскольку условный оператор и его контрпозитив логически эквивалентны, мы можем использовать это в наших интересах, когда мы доказываем математические теоремы. Вместо того, чтобы напрямую доказывать истинность условного утверждения, мы можем использовать стратегию косвенного доказательства, заключающуюся в доказательстве истинности контрпозитива этого утверждения. Противопозитивные доказательства работают, потому что, если контрапозитив верен, из-за логической эквивалентности исходное условное утверждение также верно.
Оказывается, даже если обратное и inverse логически не эквивалентны исходному условному выражению, они логически эквивалентны друг другу. Этому есть простое объяснение. Мы начинаем с условного оператора «Если Q , то P ». Противоположным этому утверждению является «Если не P , то не Q ». Поскольку обратное является противоположностью обратного, обратное и обратное логически эквивалентны.