Что такое число? Это зависит от обстоятельств. Существует множество различных типов чисел, каждое из которых имеет свои особенности. Один из видов чисел, на котором основана статистика, вероятность и большая часть математики, называется действительным числом.
Чтобы узнать, что такое действительное число. , сначала мы кратко рассмотрим другие типы чисел.
Типы чисел
Сначала мы узнаем о числах в чтобы считать. Мы начали с сопоставления чисел 1, 2 и 3 пальцами. Потом мы продолжали подниматься так высоко, как могли, что, вероятно, было не так уж и высоко. Эти счетные числа или натуральные числа были единственными числами, о которых мы знали.
Позже, когда мы имели дело с вычитанием, были введены отрицательные целые числа. Набор положительных и отрицательных целых чисел называется набором целых чисел. Вскоре после этого были рассмотрены рациональные числа, также называемые дробями. Поскольку каждое целое число можно записать в виде дроби с 1 в знаменателе, мы говорим, что целые числа образуют подмножество рациональных чисел.
Древние греки понимали что не все числа можно представить в виде дроби. Например, квадратный корень из 2 нельзя выразить дробью. Такие числа называются иррациональными числами. Существует множество иррациональных чисел, и, как ни странно, в определенном смысле иррациональных чисел больше, чем рациональных. Другие иррациональные числа включают пи и e.
Десятичные разложения
Любое действительное число может быть записанным в виде десятичной дроби. Различные виды действительных чисел имеют разные виды десятичных разложений. Десятичное разложение рационального числа завершается, например, 2, 3,25 или 1,2342, или повторяется, например, 0,33333. . . Или .123123123. . . В отличие от этого, десятичное разложение иррационального числа не имеет конца и не повторяется. Мы можем видеть это в десятичном разложении числа пи. Для числа Пи существует бесконечная строка цифр, и, более того, нет строки цифр, которая бесконечно повторяется.
Визуализация действительных чисел
Действительные числа можно визуализировать, сопоставив каждое из них с одной из бесконечного числа точек на прямой. Действительные числа имеют порядок, что означает, что для любых двух различных действительных чисел мы можем сказать, что одно больше другого. По соглашению, перемещение влево по линии действительных чисел соответствует меньшим и меньшим числам. Перемещение вправо вдоль линии действительных чисел соответствует все большим и большим числам.
Основные свойства действительных чисел
действительные числа ведут себя так же, как и другие числа, с которыми мы привыкли иметь дело. Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить их (пока мы не делим на ноль). Порядок сложения и умножения не важен, так как есть коммутативное свойство. Свойство распределения сообщает нам, как умножение и сложение взаимодействуют друг с другом.
Как упоминалось ранее, действительные числа имеют порядок. Учитывая любые два действительных числа x и y , мы знаем, что верно одно и только одно из следующего:
x = y , x y или x > y.
Другое свойство – полнота
Свойство, которое отличает действительные числа от других наборов чисел, например рациональные числа, называется полнотой. Объяснение полноты требует технических средств, но интуитивно понятно, что в наборе рациональных чисел есть пробелы. В наборе действительных чисел нет пробелов, потому что он полный.
В качестве иллюстрации мы рассмотрим последовательность рациональных чисел 3, 3.1 , 3.14, 3.141, 3.1415,. . . Каждый член этой последовательности является приближением к пи, полученным путем усечения десятичного разложения числа пи. Члены этой последовательности все ближе и ближе к пи. Однако, как мы уже упоминали, число Пи не является рациональным. Нам нужно использовать иррациональные числа, чтобы заполнить дыры числовой прямой, которые возникают, рассматривая только рациональные числа.
Сколько действительных чисел?
Неудивительно, что существует бесконечное количество действительных чисел. В этом довольно легко убедиться, если учесть, что целые числа образуют подмножество действительных чисел. Мы также могли убедиться в этом, поняв, что числовая линия имеет бесконечное количество точек.
Что удивительно, так это то, что бесконечность, используемая для подсчета действительных чисел, равна иного вида, чем бесконечность, используемая для подсчета целых чисел. Целые числа, целые числа и рациональные числа счетно бесконечны. Множество действительных чисел бесчисленно бесконечно.
Почему они называются настоящими?
Действительные числа получили свое название, чтобы отличить их от еще большего обобщения понятия числа. Мнимое число i определяется как квадратный корень из отрицательного. Любое действительное число, умноженное на i , также известно как мнимое число. Мнимые числа определенно расширяют наше представление о числе, поскольку это совсем не то, о чем мы думали, когда впервые научились считать.
