Что такое набор мощности?

Один из вопросов теории множеств заключается в том, является ли набор подмножеством другого набора. Подмножество A – это набор, который формируется с использованием некоторых элементов из набора A . Чтобы B был подмножеством A , каждый элемент B также должен быть элементом A .

В каждом наборе есть несколько подмножеств. Иногда желательно знать все возможные подмножества. В этом помогает конструкция, известная как набор мощности. Набор мощности набора A – это набор с элементами, которые также являются наборами. Этот набор мощности сформирован путем включения всех подмножеств данного набора A.

Пример 1

Мы рассмотрим два примера степенных множеств. Во-первых, если мы начнем с набора A = {1, 2, 3}, то каков будет набор мощности? Мы продолжаем перечислением всех подмножеств A.

  • Пустое множество – это подмножество А . Действительно, пустое множество – это подмножество каждого набора. Это единственное подмножество без элементов A .
  • Наборы {1}, {2}, {3} – единственные подмножества A с одним элементом.
  • Наборы {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} – единственные подмножества A с двумя элементами.
  • Каждый набор является подмножеством самого себя. Таким образом, A = {1, 2, 3} является подмножеством A . Это единственное подмножество из трех элементов.

A

A

A

Пример 2

Для Во втором примере мы рассмотрим набор степеней B = {1, 2, 3, 4}. Многое из того, что мы сказали выше, похоже, если не идентично сейчас:

  • Пустое множество и B оба подмножества.
  • Поскольку есть четыре элемента B , есть четыре подмножества с одним элементом: {1}, {2}, {3} , {4}.
  • Поскольку каждое подмножество из трех элементов может быть сформировано путем исключения одного элемента из B , а есть четыре элемента, таких подмножеств четыре: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}.
  • Осталось определить подмножества с двумя элементами . Мы формируем подмножество двух элементов, выбранных из набора из 4. Это комбинация, и существует C (4, 2) = 6 таких комбинаций. Подмножества: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

B

B

Обозначение

Существует два способа обозначения набора мощности набора A . Один из способов обозначить это – использовать символ P ( A ), где иногда эта буква P пишется с стилизованный сценарий. Другое обозначение для набора мощности A – 2 A . Это обозначение используется для связи набора мощности с количеством элементов в наборе мощности.

Размер набора мощности

Мы рассмотрим эти обозначения далее.. Если A – конечное множество с n элементами, то его набор мощности P (A ) будет иметь 2 n элементов. Если мы работаем с бесконечным множеством, то не стоит думать о 2 элементах n . Однако теорема Кантора говорит нам, что мощность множества и его мощность не могут быть одинаковыми.

В математике оставался открытым вопрос о том, является ли мощность множества счетно бесконечного множества совпадает с мощностью действительных чисел. Решение этого вопроса носит довольно технический характер, но в нем говорится, что мы можем выбрать, проводить такую ​​идентификацию мощностей или нет. Оба ведут к последовательной математической теории.

Наборы мощности в вероятности

Вероятность основана на теории множеств. Вместо того чтобы ссылаться на универсальные наборы и подмножества, мы говорим о пространствах выборок и событиях. Иногда, работая с пробным пространством, мы хотим определить события этого пробного пространства. Набор мощности пробного пространства, который у нас есть, даст нам все возможные события.

Оцените статью
recture.ru
Добавить комментарий