Одна из целей выводимой статистики – оценить неизвестные параметры совокупности. Эта оценка выполняется путем построения доверительных интервалов из статистических выборок. Возникает вопрос: «Насколько хорошо у нас есть оценщик?» Другими словами: «Насколько точен в конечном итоге наш статистический процесс оценки нашего параметра численности населения. Один из способов определить ценность оценщика – рассмотреть, является ли он беспристрастным. Этот анализ требует от нас найти ожидаемое значение нашей статистики.
Параметры и статистика
Начнем с рассмотрения параметров и статистики . Мы рассматриваем случайные величины из известного типа распределения, но с неизвестным параметром в этом распределении. Этот параметр должен быть частью генеральной совокупности, или он может быть частью функции плотности вероятности. У нас также есть функция наших случайных величин, и это называется статистикой. Статистика (X 1 , X 2 ,…, X n ) оценивает параметр T, поэтому мы называем его оценкой T.
Несмещенные и предвзятые оценки
Теперь мы определять непредвзятые и предвзятые оценки. Мы хотим, чтобы наша оценка соответствовала нашему параметру в долгосрочной перспективе. Говоря более точным языком, мы хотим, чтобы ожидаемое значение нашей статистики равнялось параметру. В этом случае мы говорим, что наша статистика является объективной оценкой параметра.
Если оценка не является объективной оценкой, то она предвзятый оценщик. Хотя смещенная оценка не обеспечивает хорошего согласования своего ожидаемого значения со своим параметром, существует множество практических примеров, когда смещенная оценка может быть полезной. Одним из таких случаев является использование доверительного интервала плюс четыре для построения доверительного интервала для доли населения.
Пример средних
Чтобы увидеть, как работает эта идея, мы рассмотрим пример, относящийся к среднему значению. Статистика
(X 1 + X 2 + … + X n )/n
известен как выборочное среднее. Мы предполагаем, что случайные величины представляют собой случайную выборку из того же распределения со средним значением μ. Это означает, что ожидаемое значение каждой случайной переменной равно μ.
Когда мы вычисляем ожидаемое значение нашей статистики, мы видим следующее:
E [(X 1 + X 2 +… + X n )/n] = (E [X 1 ] + E [X 2 ] +… + E [X n ])/n = (nE [X 1 ])/n = E [X 1 ] = μ.
Поскольку ожидаемое значение статистики совпадает с параметром, который он оценил, это означает, что выборочное среднее является несмещенным оценка для среднего населения.