Как рассчитать вероятности Powerball

Powerball – это многосторонняя лотерея, которая довольно популярна благодаря своим многомиллионным джекпотам. Некоторые из этих джекпотов достигают значений, превышающих 100 миллионов долларов. Интересный вопрос с вероятностной точки зрения: «Как рассчитываются шансы на победу в Powerball?»

Правила

Сначала мы рассмотрим правила Powerball в том виде, в котором он настроен в настоящее время. Во время каждого розыгрыша два барабана, заполненные шарами, тщательно перемешиваются и рандомизируются. Первый барабан содержит белые шары с номерами от 1 до 59. Из этого барабана без замены извлекаются пять. Во втором барабане есть красные шары, пронумерованные от 1 до 35. Один из них вытянут. Задача состоит в том, чтобы угадать как можно больше этих чисел.

Призы

Полный джекпот разыгрывается, когда все шесть числа, выбранные игроком, идеально совпадают с выпавшими шарами. Есть призы с меньшими значениями для частичного совпадения, всего девять различных способов выиграть некоторую сумму в долларах от Powerball. Вот эти способы выигрыша:

  • Если сопоставить все пять белых шаров и красный шар, вы получите джекпот главного приза. Его ценность варьируется в зависимости от того, сколько времени прошло с тех пор, как кто-то выиграл этот главный приз.
  • Если сопоставить все пять белых шаров, но не красный шар, вы получите 1000000 долларов.
  • Если угадать ровно четыре из пяти белых шаров и красный шар, вы получите 10 000 долларов.
  • Если у вас совпадут ровно четыре из пяти белых шаров, но не красный шар, вы получите 100 долларов.
  • Если угадать ровно три из пяти белых шаров и красный шар, вы получите 100 долларов.
  • Если угадать ровно три из пяти белых шаров, но не красный шар, вы получите 7 долларов.
  • Соответствие ровно два из пяти белых шаров и красный шар приносят 7 долларов.
  • Если сопоставить ровно один из пяти белых шаров и красный шар, вы получите 4 доллара.
  • Если совпадение будет только с красный шар, но ни один из белых шаров не выиграет 4 доллара.

Мы рассмотрим, как вычислить каждую из этих вероятностей. Во время этих расчетов важно отметить, что порядок выхода шариков из барабана не имеет значения. Единственное, что имеет значение, – это набор выпавших шаров. По этой причине наши расчеты включают комбинации, а не перестановки.

Также в каждом расчете ниже полезно общее количество комбинаций, которые можно нарисовать. У нас есть пять выбранных из 59 белых шаров, или, используя обозначение комбинаций, C (59, 5) = 5 006 386 способов, чтобы это произошло. Есть 35 способов выбрать красный шар, что дает 35 x 5 006 386 = 175 223 510 возможных вариантов.

Джекпот

Хотя Джекпот при совпадении всех шести шаров получить сложнее всего, его вероятность вычислить проще всего. Из множества 175 223 510 возможных вариантов есть только один способ выиграть джекпот. Таким образом, вероятность того, что конкретный билет выиграет джекпот, составляет 1/175 223 510..

Пять белых шаров

Чтобы выиграть 1 000 000 долларов, нам нужно сопоставить пять белых шаров, но не красный. Есть только один способ сопоставить все пять. Есть 34 способа не совпадать с красным мячом. Таким образом, вероятность выигрыша 1 000 000 долларов составляет 34/175 223 510, или приблизительно 1/5 153 633.

Четыре белых шара и один красный

Чтобы получить приз в размере 10 000 долларов, мы должны угадать четыре из пяти белых шаров и красный. Есть C (5,4) = 5 способов сопоставить четыре из пяти. Пятый шар должен быть одним из оставшихся 54, которые не были вытянуты, поэтому существует C (54, 1) = 54 способа, чтобы это произошло. Есть только один способ подобрать красный мяч. Это означает, что существует 5 x 54 x 1 = 270 способов сопоставить ровно четыре белых шара и красный, что дает вероятность 270/175 223 510, или примерно 1/648 976.

Четыре белых шара и ни одного красного

Один из способов выиграть приз в 100 долларов – угадать четыре из пяти белых шаров, а не красный. Как и в предыдущем случае, существует C (5,4) = 5 способов сопоставить четыре из пяти. Пятый шар должен быть одним из оставшихся 54, которые не были вытянуты, поэтому существует C (54, 1) = 54 способа, чтобы это произошло. На этот раз есть 34 способа не совпадать с красным мячом. Это означает, что существует 5 x 54 x 34 = 9180 способов сопоставить ровно четыре белых шара, но не красный, что дает вероятность 9180/175 223 510, или примерно 1/19 088.

Три белых шара и один красный

Другой способ выиграть приз в 100 долларов – это угадать ровно три из пяти белых шаров, а также красный. Существует C (5,3) = 10 способов сопоставить три из пяти. Оставшиеся белые шары должны быть одним из оставшихся 54, которые не были вытянуты, поэтому существует C (54, 2) = 1431 способ, чтобы это произошло. Есть один способ сопоставить красный шар. Это означает, что существует 10 x 1431 x 1 = 14 310 способов сопоставить ровно три белых шара и красный, что дает вероятность 14 310/175 223 510, или приблизительно 1/12 245.

Три белых шара и ни одного красного

Один из способов выиграть приз в размере 7 долларов – это угадать ровно три из пяти белых шаров и не совпадать с красным. Существует C (5,3) = 10 способов сопоставить три из пяти. Оставшиеся белые шары должны быть одним из оставшихся 54, которые не были вытянуты, поэтому существует C (54, 2) = 1431 способ, чтобы это произошло. На этот раз есть 34 способа не совпадать с красным мячом. Это означает, что существует 10 x 1431 x 34 = 486 540 способов сопоставить ровно три белых шара, но не красный, что дает вероятность 486 540/175 223 510, или приблизительно 1/360.

Два белых шара и один красный

Другой способ выиграть приз в 7 долларов – это угадать ровно два из пяти белых шаров, а также красный. Есть C (5,2) = 10 способов сопоставить два из пяти. Оставшиеся белые шары должны быть одним из оставшихся 54, которые не были вытянуты, поэтому существует C (54, 3) = 24 804 способа, чтобы это произошло.. Есть один способ сопоставить красный шар. Это означает, что существует 10 x 24 804 x 1 = 248 040 способов сопоставить ровно два белых шара и красный, что дает вероятность 248 040/175 223 510, или приблизительно 1/706.

Один белый шар и один красный

Один из способов выиграть приз в 4 доллара – это угадать ровно один из пяти белых шаров, а также красный. Существует C (5,4) = 5 способов найти один из пяти. Оставшиеся белые шары должны быть одним из оставшихся 54, которые не были вытянуты, поэтому существует C (54, 4) = 316 251 способов, чтобы это произошло. Есть один способ сопоставить красный шар. Это означает, что существует 5 x 316 251 x 1 = 1 581 255 способов сопоставить ровно один белый шар и красный, что дает вероятность 1 581 255/175 223 510, или приблизительно 1/111.

Один красный шар

Другой способ выиграть приз в 4 доллара – не уравнять ни один из пяти белых шаров, но совпадет с красным. 54 шара не входят ни в один из пяти выбранных, и у нас есть C (54, 5) = 3 162 510 способов, чтобы это произошло. Есть один способ сопоставить красный шар. Это означает, что существует 3 162 510 способов не сопоставить ни один из шаров, кроме красного, что дает вероятность 3 162 510/175 223 510, или приблизительно 1/55.

Этот случай несколько парадоксален. Всего 36 красных шаров, поэтому мы можем подумать, что вероятность совпадения одного из них будет 1/36. Однако при этом игнорируются другие условия, налагаемые белыми шарами. Многие комбинации, включающие правильный красный шар, также включают совпадения с некоторыми белыми шарами.

Оцените статью
recture.ru
Добавить комментарий