В математике замечательно то, что, казалось бы, не связанные между собой области предмета удивительным образом сочетаются друг с другом. Одним из примеров этого является применение идеи исчисления к кривой колокола. Инструмент исчисления, известный как производная, используется для ответа на следующий вопрос. Где находятся точки перегиба на графике функции плотности вероятности для нормального распределения?
Точки перегиба
Кривые имеют множество функций, которые можно классифицировать и категоризировать. Один из вопросов, касающихся кривых, который мы можем рассмотреть, – это то, увеличивается или уменьшается график функции. Другая особенность относится к так называемой вогнутости. Это можно примерно представить как направление, к которому обращена часть кривой. Более формально вогнутость – это направление кривизны.
Говорят, что часть кривой вогнута вверх, если она имеет форму буквы U. Часть кривой кривая будет вогнутой вниз, если она имеет форму. Легко вспомнить, как это выглядит, если мы подумаем о пещере, открывающейся либо вверх для вогнутости вверх, либо вниз для вогнутости вниз. Точка перегиба – это место, где кривая меняет вогнутость. Другими словами, это точка, в которой кривая переходит от вогнутой вверх к вогнутой вниз или наоборот.
Вторые производные
В исчислении производная – это инструмент, который используется по-разному. Хотя наиболее известное использование производной – определение наклона линии, касательной к кривой в данной точке, существуют и другие приложения. Одно из этих приложений связано с поиском точек перегиба графика функции.
Если график y = f (x ) имеет точку перегиба в x = a , тогда вторая производная от f оценивается в a равно нулю. Мы запишем это в математической записи как f ” (a) = 0. Если вторая производная функции равна нулю в точке, это не означает автоматически, что мы нашли точку перегиба. . Однако мы можем искать потенциальные точки перегиба, видя, где вторая производная равна нулю. Мы будем использовать этот метод для определения местоположения точек перегиба нормального распределения.
Точки перегиба колоколообразной кривой
Случайная величина, которая нормально распределена со средним значением μ и стандартным отклонением σ, имеет функцию плотности вероятности
f (x) = 1/(σ √ (2 π)) exp [- (x – μ) 2 /(2σ 2 )] .
Здесь мы используем обозначение exp [y] = ey , где e – математическая константа, приближенная к 2,71828.
Первая производная этой функции плотности вероятности находится, зная производную для e x и применение цепного правила.
f ‘(x) = – (x – μ)/(σ 3 √ ( 2 π)) exp [- (x -μ) 2 /(2σ 2 )] = – (x – μ) f (x)/σ 2.
Теперь вычислим вторую производную этой функции плотности вероятности. Мы используем правило произведения, чтобы увидеть, что:
f ” (x) = – f (x)/σ 2 – (x – μ) f ‘(x)/σ 2
Упрощая это выражение, мы имеем
f ” (x) = – f (x)/σ 2 + (x – μ) 2 f (x)/(σ 4 )
Теперь установите это выражение равным нулю и решите для x . Поскольку f (x) – ненулевая функция, мы можем разделить обе части уравнения на эту функцию.
0 = – 1/σ 2 + (x – μ) 2 /σ 4
Чтобы исключить дроби, мы можем умножить обе части на σ 4
0 = – σ 2 + (x – μ) 2
Мы почти достигли нашей цели. Чтобы решить для x , мы видим, что
σ 2 = (x – μ) 2
Взяв квадратный корень из обеих частей (и не забывая принимают как положительные, так и отрицательные значения корня
± σ = x – μ
Отсюда легко увидеть, что точки перегиба находятся там, где x = μ ± σ . Другими словами, точки перегиба расположены на одном стандартном отклонении. выше среднего и на одно стандартное отклонение ниже среднего.