Биномиальное распределение включает дискретную случайную величину. Вероятности в биномиальной обстановке можно вычислить простым способом, используя формулу для биномиального коэффициента. Хотя в теории это простое вычисление, на практике вычисление биномиальных вероятностей может стать довольно утомительным или даже вычислительно невозможным. Эти проблемы можно обойти, используя вместо этого нормальное распределение для аппроксимации биномиального распределения. Мы увидим, как это сделать, выполнив шаги расчета.
Шаги к использованию нормального приближения
Сначала , мы должны определить, уместно ли использовать нормальное приближение. Не все биномиальные распределения одинаковы. Некоторые из них демонстрируют достаточную асимметрию, поэтому мы не можем использовать нормальное приближение. Чтобы проверить, следует ли использовать нормальное приближение, нам нужно посмотреть на значение p , которое является вероятностью успеха, и n , который представляет собой количество наблюдений нашей биномиальной переменной.
Чтобы использовать нормальное приближение, мы рассматриваем оба np и n (1 – p ). Если оба эти числа больше или равны 10, то мы вправе использовать нормальное приближение. Это общее практическое правило, и обычно чем больше значения np и n (1 – p ) , тем лучше приближение.
Сравнение биномиального и нормального
Мы сравним точную биномиальную вероятность с вероятностью, полученной нормальное приближение. Мы рассматриваем подбрасывание 20 монет и хотим знать вероятность того, что пять или менее монет выпали орлом. Если X – количество головок, то мы хотим найти значение:
P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) + P ( X = 3) + P ( X = 4) + P ( X = 5).
Использование биномиальной формулы для каждой из этих шести вероятностей показывает, что вероятность составляет 2,0695%. Теперь мы увидим, насколько близко будет наше нормальное приближение к этому значению.
Проверяя условия, мы видим, что оба np и np (1 – p ) равны 10. Это показывает, что в этом случае мы можем использовать нормальное приближение. Мы будем использовать нормальное распределение со средним значением np = 20 (0,5) = 10 и стандартным отклонением (20 (0,5) (0,5)) 0,5 = 2.236.
Чтобы определить вероятность того, что X меньше или равно 5, нам нужно найти z – оценка 5 в используемом нами нормальном распределении. Таким образом, z = (5-10)/2,236 = -2,236. Изучив таблицу значений z , мы видим, что вероятность того, что z меньше или равна -2,236, составляет 1,267%. Это отличается от реальной вероятности, но находится в пределах 0,8%..
Коэффициент коррекции непрерывности
Чтобы улучшить нашу оценку, целесообразно ввести коэффициент коррекции непрерывности. Это используется, потому что нормальное распределение является непрерывным, тогда как биномиальное распределение дискретно. Для биномиальной случайной величины гистограмма вероятности для X = 5 будет включать полосу от 4,5 до 5,5 с центром в 5.
Это означает, что для приведенного выше примера вероятность того, что X меньше или равна 5 для биномиальной переменной, должна оцениваться вероятностью того, что X меньше или равно 5,5 для непрерывной нормальной переменной. Таким образом, z = (5,5 – 10)/2,236 = -2,013. Вероятность того, что z