Как использовать «если и только если» в математике

Когда вы читаете о статистике и математике, одна фраза, которая регулярно появляется, – это «если и только если». Эта фраза особенно часто встречается в формулировках математических теорем или доказательств. Но что именно означает это утверждение?

Что означает в математике «если и только если»?

Чтобы понять «если и только если», мы должны сначала знать, что подразумевается под условным оператором. Условный оператор – это оператор, который формируется из двух других операторов, которые мы обозначим P и Q. Чтобы сформировать условный оператор, мы могли бы сказать «если P, то Q».

Ниже приведены примеры такого рода утверждений:

  • Если на улице дождь, я беру свой зонтик со мной на прогулке.
  • Если вы будете усердно учиться, то получите пятерку.
  • Если n делится на 4, то n делится на 2.

Конверс и условные выражения

Три других оператора связаны с любым условным оператором. Они называются обратным, обратным и противоположным. Мы формируем эти утверждения, изменяя порядок P и Q по сравнению с исходным условным условием и вставляя слово «не» для обратного и противоположного.

Нам только нужно рассмотреть здесь обратное. Это утверждение получено из оригинала, говоря «если Q, то P.» Предположим, мы начинаем с условия «если на улице дождь, то я беру с собой зонтик на прогулку». Обратное к этому утверждению: «Если я беру с собой зонтик на прогулку, то на улице идет дождь».

Нам нужно рассмотреть только этот пример чтобы понять, что исходное условие логически не то же самое, что его обратное. Путаница этих двух форм операторов известна как обратная ошибка. Можно взять на прогулку зонтик, даже если на улице может не идти дождь.

В другом примере мы рассматриваем условное выражение «Если число делится на 4, то оно делится на 2. ” Это утверждение явно верно. Однако обратное утверждение этого утверждения «Если число делится на 2, то оно делится на 4» неверно. Нам нужно только посмотреть на такое число, как 6. Хотя 2 делит это число, 4 – нет. Хотя исходное утверждение истинно, обратное – нет.

Biconditional

Это приводит нас к двусмысленному утверждению, которое является также известный как оператор «если и только если». У некоторых условных утверждений также есть обратные, которые являются истинными. В этом случае мы можем сформировать так называемое двухусловное утверждение. Двуусловный оператор имеет форму:

«Если P, то Q, а если Q, то P.»

Поскольку эта конструкция несколько неудобна, особенно когда P и Q являются собственными логическими операторами, мы упрощаем формулировку биконусловия, используя фразу «тогда и только тогда». Вместо того, чтобы говорить «если P, то Q, а если Q, то P», мы вместо этого говорим «P тогда и только тогда, когда Q. «Эта конструкция устраняет некоторую избыточность.

Пример статистики

Для примера фразы« если и только если », которая включает статистики, не ищите ничего, кроме факта, касающегося стандартного отклонения выборки. Стандартное отклонение выборки набора данных равно нулю тогда и только тогда, когда все значения данных идентичны.

Мы разбиваем этот двухусловный оператор на условное и обратное. Затем мы видим, что этот оператор означает оба из следующих факторов:

  • Если стандартное отклонение равно нулю, тогда все значения данных идентичны.
  • Если все значения данных идентичны, то стандартное отклонение равно нулю.

Доказательство двусмысленности

Если мы пытаемся доказать двусмысленность, то в большинстве случаев мы разбиваем ее. Таким образом, наше доказательство состоит из двух частей. Одна часть, которую мы докажем, это «если P, то Q». Другая часть доказательства, которая нам нужна, – это «если Q, то P.»

Необходимые и достаточные условия

Биконусные утверждения – это связанных с условиями, которые одновременно необходимы и достаточны. Рассмотрим высказывание «если сегодня Пасха, то завтра понедельник». Сегодняшняя Пасха достаточно, чтобы завтра был понедельник, однако это не обязательно. Сегодня может быть любое воскресенье, кроме Пасхи, а завтра все равно понедельник.

Аббревиатура

Фраза «тогда и только тогда» используется в математических письмах достаточно часто, так что у нее есть собственное сокращение. сокращается до просто «если и только». Таким образом, утверждение «P тогда и только тогда, когда Q» становится «P, если и только если Q».

Оцените статью
recture.ru
Добавить комментарий